1.Aleatoriedad del Precio
2.Factores del Precio
3.Análisis Técnico
3.1.Patrones Gráficos
3.2.Indicadores Bursátiles
4.Esperanza Matemática
5.La Importancia de los Datos en el Trading
6.Gestión del Riesgo
6.1.Riesgo de Ruina (ROR)
6.2.Riesgo Óptimo
6.3.Calcular el Tamaño de Posición
6.4.Riesgo Variable
7.Parámetros de un Sistema de Trading
8.CURSO DE TRADING

¿Qué sabes sobre el trading?, ¿puedes vencer a los mercados en el tiempo? o ¿es algo imposible?

¿Crees que las matemáticas pueden ayudarte a diseñar un sistema ganador, o la quiebra es inevitable?

1.Aleatoriedad del precio

Dicen que El 90% de los traders pierde el 90% de su dinero los primeros 90 días, lo cual no es muy esperanzador, pero si hay mucha gente que pierde, tiene que haber otros que ganen, aunque… ¿significa eso que es posible predecir el el precio?

Existen teorías que afirman que el precio es completamente aleatorio (Random walk) y la certeza de que este no sigue ninguna distribución conocida, pero incluso la hipótesis de que es imposible anticiparse a él (mercado eficiente), ya que los mercados son eficientes y reflejan con demasiada velocidad toda la información ventajosa que existe. Esta teoría que suena bastante bien fué aceptada Y enseñada durante muchos años.

pero… ¿desde cuándo los mercados actúan solo de manera eficiente?, ¿acaso nuestras emociones no son parte del juego?

Si analizamos lo que ocurre en una burbuja financiera, podemos ver que se crea una fuerte sensación de euforia, que impulsa el precio irracionalmente y deja las acciones finalmente sobrevaloradas. Algo que no se puede explicar en el modelo de mercado eficiente, porque el precio está siempre perfectamente valorado.

Si aceptamos por tanto el factor emocional, tenemos la teoría del mercado adaptativo que reúne lo mejor de ambas, y nos explica mejor el comportamiento del precio.

aunque… ¿cuantos factores influyen realmente sobre el precio?

2.Factores del precio

Aquí tienes una lista donde puedes ver la mayoría:

Algunos son muy psicológicos como las noticias, publicaciones en redes, e incluso las propias predicciones, y es que aunque parezca extraño el propio precio influye sobre el precio, ¿curioso verdad?

Pero uno de los factores más influyentes es la manipulación. Los movimientos de grandes ballenas o grupos de muchos inversores pueden provocar fuertes subidas y bajadas en poco tiempo. Al eliminar de la subasta a muchos vendedores o compradores de golpe, el precio adquiere un valor muy distinto, lo que arrastra a más inversores a seguir el movimiento, dilatando todavía más sus efectos.

Y es que hay factores más influyentes que otros.

Pero…¿como las matemáticas pueden ayudarte en el trading?

3.Análisis técnico

Para analizar un mercado puedes centrarte en sus peculiaridades a través del análisis fundamental. Si por ejemplo quisieras invertir en apple a largo plazo, estudiarías sus datos de ventas, informes económicos, e información relativa a la empresa para elaborar una predicción del verdadero valor de sus acciones.

En cambio un trader se centra principalmente en un análisis técnico del precio, ya que según la teoría de Daw el histórico ya muestra todos los factores que influyen sobre él.

Y aquí de nuevo nos ayudan las matemáticas… pero ¿cuáles son esos factores?

3.1 Patrones Gráficos

Analizar técnicamente un mercado implica analizar las tendencias del precio y sus correcciones para aprovecharnos de ellas.

Y para eso se trazan líneas de tendencia, soportes y resistencias, niveles de Fibonacci u ondas de Elliot, que no son más que elementos gráficos que marcan patrones con el precio y que tienen un cierto éxito estadístico.

Por ejemplo cualquier trader sabe que cuando se rompe un nivel de resistencia muy fuerte como un máximo histórico, es muy probable que el precio coja más impulso. Esto es solo un ejemplo, pero estas herramientas te permiten diseñar fácilmente un sistema con un alto porcentaje de aciertos.

3.2.Indicadores bursátiles

El problema es que no existe un consenso riguroso para utilizarlas, porque cada analista traza estos elementos a su manera. Así que si quieres señales de compra y venta más unificadas están los indicadores bursátiles. Estos no son más que gráficos que se trazan con cálculos matemáticos, y que nos dan las mismas señales a ti que a mi.

Un ejemplo es la media móvil, que es simplemente una línea donde cada punto se calcula con el valor promedio de los periodos que queramos. Si por ejemplo elegimos una media móvil de 9 periodos cada punto se obtiene con el promedio de los 9 precios anteriores. Es decir que se dibuja una linea de promedios, y se hace así para suavizar el ruido que provocan factores a corto plazo como algunas noticias o manipulaciones. La media móvil resume mejor la información general y es útil a nivel visual.

Existen distintos tipos de medias móviles y se diferencian principalmente en la prioridad que dan a los valores de esos promedios. La mayoría de indicadores usan medias exponenciales, porque dan más importancia a los últimos valores del precio.

Pero volviendo al tema, te apetece ver algún indicador?

El más sencillo que existe es un cruce de medias móviles, donde se superponen dos medias móviles de distinto periodo, una línea más rápida y sensible de menos periodos, frente a una más lenta e inalterable de más periodos, y se estudia la relación. ¿Puedes imaginar como?

Los puntos de corte representan momentos donde el corto plazo diverge sobre el largo y por tanto una posible compra o venta.

Observa que cuando se cruzan suele haber un cambio en el precio. Aunque fíjate que también hay un retardo.

Otro de los indicadores técnicos más habituales es el MACD, que busca otro cruce de líneas, en este caso una muy rápida conseguida con la resta de dos medias móviles una de 12 y una de 26, con una más lenta conseguida suavizando esta señal con una media de 9 periodos.

Pero también está el RSI o índice de fuerza relativa, que nos indica si el activo se considera sobrecomprado o sobrevendido, cuando alcanza niveles superiores a 70 o inferiores a 30.

No obstante también existen indicadores creados por matemáticos, como las BANDAS DE BOLLINGER que respresentan con su amplitud la volatilidad del mercado.

Y otros como el VOLUMEN, muy usado por algunos traders.

Todos ellos también sirven para diseñar sistemas con una buena probabilidad de acierto, y como muchos analistas los utilizan, al final también acaban influyendo sobre el precio. Un poco paradójico verdad?

Y es que los indicadores pueden tener cierta efectividad, pero eso no significa que acierten siempre. Fíjate que en el MACD, cuando se produce un gran cambio en la tendencia hay un cruce en el indicador, sin embargo no siempre que se produce el cruce el impulso tiene la misma fuerza. Tienes que tener muy claro que los indicadores se calculan a partir del precio y no al revés, y que si este cambia también lo hace el indicador, porque se dibuja con datos del pasado. Por eso debes ir con cuidado ya que el impulso del precio puede llevarse por delante a cualquier indicador. ¡Estás avisado!

Es importante que antes de usarlos conozcas muy bien todas sus fortalezas y debilidades (por lo que si te gustaría aprenderlos mira el curso que tengo preparado abajo).

4.Esperanza Matemática

Fíjate que aunque no tenemos una bola de cristal para adivinar el precio, hemos introducido un concepto que puede si hacerte vencedor. El éxito estadístico.

Y es que no es necesario conocer lo que va a hacer el precio en todo momento para tener un sistema rentable.

Pero ¿como sabemos si es rentable?, ¿Crees que puedes saberlo?

En realidad es muy sencillo, un sistema es rentable cuando el beneficio de todas las operaciones positivas supera la pérdida de todas las operaciones negativas, es decir que el balance entre operaciones ganadoras y perdedoras es positivo.

Tan sencillo como eso,¿que esperabas?

Pero si resumes ese balance promedio para una sola operación obtienes la esperanza matemática del sistema. Que es cuanto dinero ganas en promedio por cada operación.

Y se calcula con el porcentaje de acierto (de operaciones ganadoras) y el ratio beneficio riesgo de todas ellas.

Pero vamos con un ejemplo:

Imagina que tu sistema fuera como lanzar una moneda con 2 reglas. Si sale cara te pagan otra moneda, pero si sale cruz pierdes la moneda, es decir que tu ratio beneficio riesgo es de 1 a 1 (1 moneda que puedes ganar por cada moneda que puedes perder). Como la probabilidad de sacar cara es de 50%, la ley de los grandes números te asegura que al cabo de muchas tiradas tendrías un porcentaje de aciertos cercano a ese valor (es decir que tras muchas tiradas tendrías algo muy parecido a un 50% de caras y de cruces), y como el premio cuando ganas es la misma cantidad que lo que pierdes cuando pierdes, tendrías un sistema que ni gana, ni pierde. Esperanza matemática 0.

Observa ahora este otro que hace 5 operaciones. 3 de ellas son positivas (que es un porcentaje de éxito del 60%), y el ratio de beneficio riesgo es 2 a 1.

Si usamos la fórmula tiene un beneficio promedio por cada operación de 1,6. Lo que significa que hasta el momento su esperanza es claramente ganadora.

Sin embargo si te enseño este otro posiblemente pienses que no lo es, porque tiene un porcentaje de aciertos menor al 50%, verdad?, Esto es solo una percepción, porque en este caso el ratio compensa la otra variable.

Aunque también puede pasar lo contrario. Sistemas con un alto porcentaje de aciertos pueden no ser rentables si el ratio de beneficio riesgo finalmente no compensa. Y te digo esto porque algunos se aprovechan de esta percepción para venderte bots de trading que tienen un elevado porcentaje de acierto, pero que cuando pierden lo hacen con cantidades tan grandes que dejan de hacerlo rentable. Lamentablemente todo el beneficio hasta la catástrofe es solo una ilusión estadística, así que mucho cuidado.

Recuerda siempre que un sistema es ganador solo cuando lo es su esperanza matemática, y no alguna de las dos variables por separado.

5.La importancia de los datos en el trading

Pero si eres buen observador, me dirías que 5 operaciones no son suficientes para garantizar un cierto nivel de confianza, porque para eso necesitas una muestra de operaciones bastante más grande. Y la verdad es que no te equivocarías, ya que para obtener conclusiones determinantes es necesario probar cualquier sistema primero en el simulador con bastantes datos.

Así que ¡ni se te ocurra operar en real sin conocer bien tu esperanza matemática!

Aunque tampoco te pases con el tamaño del histórico. Ten en cuenta que los mercados son adaptativos y van cambiando con el tiempo, eso significa que ni el porcentaje de éxitos ni el ratio beneficio riesgo van a tender siempre al mismo valor, y si incluyes datos demasiado antiguos puedes obtener conclusiones obsoletas. Recuerda que las estadísticas nos muestran cómo se ha comportado el sistema hasta el momento actual, pero no como lo hará en el futuro. Por eso es más interesante ver cómo evolucionan, que obtener conclusiones con datos inservibles.

¿No está mal verdad?

6.Gestión del riesgo

Ahora ya tienes la manera de saber cuándo un sistema es rentable, pero… ¿es suficiente para ganar?

La respuesta es no, y las matemáticas van a demostrártelo.

6.1.El riesgo de ruina (RoR)

Aunque tu sistema sea muy bueno, si arriesgas más de la cuenta por cada operación es probable que pierdas.

Volviendo al ejemplo de antes, aunque tengas un 60% de aciertos si arriesgas mucho capital en cada operación, basta que tengas una racha negativa de operaciones para liquidar tu cuenta, Porque un 60% tampoco es tan decisivo, e incluso aunque tuvieras un 99% podría ocurrirte.

La clave está en conocer esa probabilidad de arruinarte que es precisamente la probabilidad o riesgo de ruina (RoR). que depende de los parámetros que ya conoces de un sistema pero también del riesgo que quieres asumir. A más arriesgue tu sistema, más grande es la posibilidad de que una serie de operaciones negativas te arruinen. (De hecho esta relación es exponencial)

Así que ¡no vale solo con tener una esperanza matemática positiva!

Pero para que te convenzas del todo he creado un simulador de trading donde puedes probar todos estos conceptos. Y voy a introducir un sistema que es rentable bajo los números, con un riesgo por operación bastante alto, por ejemplo de un 40%. Puedes ver que lo que parecía ganador, resulta que no lo es. ¡Sorpresa!

Y es que muchos sistemas con esperanza matemática positiva te pueden arruinar igual si no tienes un control del riesgo correcto. Porque aunque sean ganadores a largo plazo, la esperanza no tiene en cuenta que tu capital es limitado, y que si te arruinas no vas a poder demostrar que es rentable, porque no te quedará saldo para recuperarte.

Ten en cuenta que el éxito del trading se basa en operar muchas veces, por lo que si quieres tener futuro como trader vas a tener que controlar si o si este parámetro.

Por eso vamos a probar a reducir el riesgo en el simulador, para que veas que esta vez el sistema si puede hacerte invencible a largo plazo.

DESCARGAR SIMULADOR DE RIESGO

Acabas de descubrir el santo grial del trading, ¿Que tal si me das un like o lo compartes?

6.2.El riesgo óptimo

Ya solo necesitas conocer qué números son adecuados, por eso la pregunta que debes hacerte es… ¿cuánto riesgo hay que asumir exactamente?

Hace años el matemático Ralph Vince, descubrió que existe el riesgo óptimo (f óptima) para obtener el mayor beneficio posible, pero lamentablemente y como verás, hay que asumir un porcentaje demasiado alto.

La idea para no tener draw downs o caídas demasiado grandes es asumir un porcentaje pequeño de riesgo. ¿Pero cuál exactamente?

Para esto quiero que veas un gráfico donde puedes ver cuantas operaciones negativas seguidas necesitas, para arruinarte con algunos riesgos habituales. Fíjate que un riesgo bajo te permite un margen mucho más grande de fallo.

Y aunque cualquiera de estos riesgos podría servirte, no existe el riesgo óptimo para todos, porque cada sistema es distinto y cada persona es diferente. Cada uno tolera el riesgo a su manera y no está dispuesto a arriesgar la misma cantidad para tener el mismo beneficio. ¿Verdad?

Más riesgo significa crecer más rápido, pero también más posibilidades de acabar mal. Así que dependiendo de tu sistema y tu tolerancia, puedes asumir valores mas altos o mas bajos, pero lo que nunca puedes hacer de ninguna manera si te importa tu capital, es asumir un porcentaje que ponga en peligro tu cuenta.

Ahora ya sabes para qué sirven las matemáticas, pero… ¿cómo calculas el tamaño de tu entrada para ese porcentaje, si también tendrás un límite de pérdida?

6.3.Calcular el tamaño de la posición

Para calcular el tamaño de la posición para un riesgo y stop loss determinados se hace con la siguiente fórmula:

donde introducimos ambos parámetros junto con el capital, y nos calcula la cantidad exacta a invertir.

Aunque en la práctica esto se ajusta manualmente poniendo el stop loss, y ajustando la entrada para obtener el porcentaje de riesgo que queremos. Aunque es importante que sepas cómo se calcula.

Ahora ya has aprendido cómo calcular el riesgo por cada operación, Pero… ¿qué pasa si no quieres asumir un porcentaje fijo?, En ese caso no te preocupes, porque también existen sistemas de riesgo variable.

6.4.El riesgo variable

Imagina que empiezas con una cuenta de 10.000$ y un riesgo del 1% (es decir que arriesgas 100$ por operación). Y que tras un tiempo operando consigues aumentar tu cuenta hasta los 15.000. Si mantienes el mismo porcentaje, en la siguiente operación arriesgarás 150$, porque se calcula ahora sobre el 1% de 15.000. Con un porcentaje fijo también arriesgas más cuando tu cuenta es más grande, y eso significa que tus probabilidades de ruina siguen siendo las mismas, porque el 1% siempre va a ser proporcional al tamaño de tu cuenta. Estoy diciendo que si lo que te interesa es que tu sistema se vuelva menos vulnerable a medida que creces, entonces debes utilizar un sistema de riesgo variable.

Volviendo al ejemplo, ¿que crees que pasaría si en cada operación asumieras siempre 100$ en lugar del 1%?, La respuesta es lógica, qué arriesgarías menos porcentaje a medida que creces, y eso está genial. Pero tampoco crecerías más rápido, porque con el mismo riesgo optarías siempre al mismo beneficio. Por lo que solo debes hacerlo si tu beneficio te parece suficiente.

Asumir la misma cantidad tampoco es perfecto, pero… ¿crees que se podrían reducir el riesgo y aumentar el beneficio al mismo tiempo? ¡Contesta como lo harías en los comentarios!.

Por si te interesa existen múltiples sistemas de riesgo fijo y variable como el fixed risk o fixed ratio con sus ventajas e inconvenientes, donde los explico con más detalle en mi curso de trading.

7.Parámetros de un sistema

Lo importante, es que ahora ya puedes controlar las variables más imprescindibles, aunque estas tampoco son todas, La esperanza matemática, o el riesgo de ruina, son solo algunos de los muchos parámetros que hay para analizar un sistema de trading.

Dentro de un backtest se pueden medir muchos otros como el Ratio de Sharpe para medir la rentabilidad en base al riesgo, o el Z-Score para conocer la aleatoriedad entre operaciones. Aunque hay muchos más y es importante conocerlos en detalle si quieres medir correctamente tu sistema.

Decidir si un expert advisor o cualquier sistema es apropiado o no, se reduce a valorar una serie de números que te indican si es apto para tu operativa o tu tolerancia. Por eso es tan importante conocer bien sus matemáticas.

8.CURSO DE TRADING

Si te has quedado con ganas de ampliar o profundizar con los patrones e indicadores técnicos, de descubrir los diferentes sistemas de riesgo que existen, o de conocer bien estos parámetros, estoy desarrollando un curso de trading, donde explico todos estos conceptos detenidamente y con ejemplos. Así que si te interesa aprender trading desde 0 con un matemático, no te pierdas esta oportunidad. Te dejaré un enlace cuando esté disponible.

Si estas interesado deja tu email en los comentarios.

¡nos vemos en el curso!

The post Las Matemáticas del Trading first appeared on Math4all.

1.Ecuación de Drake
2.Factores del Amor
3.Equilibrio de Nash
4.Probabilidad de encontrar pareja
5.Apps de citas
6.Estadísticas del Amor
7.Algunos consejos
8.La parada óptima
9.Evitar la separación
9.Encontrar pareja en el futuro

¿Qué sabes sobre el amor?

¿Has encontrado ya a tu media naranja, o sigues intentándolo?

¿Crees que las matemáticas pueden ayudarte a conseguir o mantener tu pareja definitiva, o es un tema demasiado emocional?

Hubo un tiempo en que la vida era más sencilla, y tener pareja se limitaba normalmente a encontrar una persona de tu entorno local o próximo, con la firme idea de permanecer siempre juntos. Y la mayoría lo conseguían…

Aunque los tiempos han cambiado y nuestro ritmo de vida ya no es el mismo. Ahora vivimos en un mundo más globalizado y tenemos tanta información que nos hemos vuelto menos conformistas y más exigentes. Todos estos cambios nos complican la labor de elegir o conservar una pareja estable.

Pero… ¿qué papel juegan las matemáticas en todo esto?

Buscar pareja es un comportamiento natural, y la naturaleza está llena de patrones que se pueden estudiar a través de estadísticas y números. Por eso las matemáticas son una buena herramienta para conseguir pareja, aunque..¡también para conservarla!.

1.Ecuación de Drake

Pero antes de entrar en eso… ¿Cuanto de difícil crees que puede resultarte encontrar tu pareja ideal?

Dar con una de esas personas entre tantas no parece una tarea fácil, aunque si no tuvieras interés en buscarla, ¿crees que te sería fácil encontrarla?

Si entendemos una media naranja como alguien que cumple todos nuestros criterios, basta hacer un par de calcules sencillos para ver que si son muchas condiciones, puede ser más complicado cruzarte con ella que encontrar vida extraterrestre. Así que ¡lo vas a tener complicado!.

Y no solo eso, aunque finalmente la encontrases puede que no fuera ni el lugar ni el momento apropiados para que surgiera el amor. Las matemáticas te indican que no es muy inteligente buscar a tu media naranja, si no eres lo suficientemente flexible con tus criterios. Cierto requisitos no siempre son tan importantes, y existen más personas compatibles de las que pensamos.

Según una encuesta el 80% de parejas indicó que conocieron a su “amor verdadero” sin buscar una relación y un 25% que su pareja actual no se asemeja al ideal que tenían. Y es que…¿desde cuando sabemos lo que queremos?

2.Factores del Amor

Encajar o no en el mapa de alguien depende de muchas cosas y nuestros criterios pueden cambiar dependiendo de qué importancia le demos a cada una.

La apariencia física suele ser uno de los factores predominantes y una de las causas de que algunos tengáis más facilidad que otros para gustar.

aunque el entorno también te condiciona, ya que como sabrás podemos gustar más o menos dependiendo de con quien se nos compare. No es lo mismo ser el guapo del grupo o de una discoteca que no serlo. ¿Verdad? Y es algo normal, la comparación es un mecanismo natural para seleccionar la mejor pareja.

3.Equilibrio de Nash

Pero incluso en un entorno muy competitivo, las matemáticas pueden ayudarte.

El matemático y economista John Nash demostró que no es inteligente competir todos por el mejor individuo, si la mayoría no va a tener éxito y uno o ninguno se lleva el premio. Es mejor que todos encuentren un equilibrio colectivo donde la mayoría esté satisfecha a nivel individual, que la mayoría fracase.

¿No está mal verdad? pero…, ¿qué más puedes hacer para ser más efectivo?

4.Probabilidad de encontrar pareja

Como ya has visto, saber qué opciones tienes con una persona es realmente difícil….

Sin embargo conocer cuál es tu atractivo general frente al mercado es bastante más sencillo, y solo requiere de un simple cálculo, que tiene en cuenta los éxitos que tienes frente a las interacciones o intentos que surgen.

Imagina que tras muchas interacciones, consigues en promedio 1 candidato de cada 10. Tu probabilidad de éxito sería aproximadamente de 0,1. Lo que significa que necesitas un promedio de 10 interacciones para obtener un candidato (¿entiendes la lógica?)

Efectivamente todos tenemos un atractivo general, unos más alto y otros como yo… más bajo. Aunque este también depende del entorno, ya que uno puede ser más atractivo en un país que en otro, o en un momento determinado. ¿Y tú, donde has despertado más pasiones?

Ahora ya puedes calcular qué atractivo eres en un lugar determinado, pero una cosa es que cartas tienes y otra como las juegas.

Si un candidato te requiere 10 personas en promedio, 2 candidatos te requerirán 20, ¿entiendes por dónde voy?

Si modelas matemáticamente el proceso de encontrar una pareja como un experimento que se repite una serie de veces, y tiene una probabilidad de éxito, verás que efectivamente si aumentas la interacción, aumentas las probabilidades de tener candidatos. Lo cual tampoco es un gran descubrimiento…. aunque sabiendo esto, ¿te das cuenta de lo importante que es que te relaciones?

Una persona que socializa tiene más opciones de encontrar pareja en la vida real que otra que no, porque aumentando las interacciones aumenta sus probabilidades de tener éxito. Por eso a más dificultades tengas para ligar, más importante es que socialices para conseguir el mismo objetivo.

La vida no es justa lo sé, ¡pero las matemáticas al menos te ofrecen una solución!

Aunque esto también puede ser insuficiente si no obtienes el resultado esperado. ¿Verdad?

5.Apps de citas

Por eso cuando el cortejo físico llega a su límite, es necesario el cortejo digital.

Y es que Internet ha cambiado la manera de ligar en el último siglo más que en los últimos 10.000 años.

Hemos pasado de salir una noche de fiesta y bailar con alguien, a swippear un par de imágenes y mantener una conversación de chat. Lo cual es menos romántico, aunque ¡puede ser mucho más efectivo!. ¡Sobretodo si no te emborrachas!

Estas apps de citas online te permiten tener una interacción casi ilimitada sobretodo en grandes ciudades, y pueden encontrarte más coincidencias de lo que podrías conseguir dedicando toda una vida. Lo cual aumenta tu horizonte social y con ello tus posibilidades. (sobretodo si pagas….)

Pero… ¿cómo funcionan?

La clave está en el algoritmo para mostrar posibles candidatos….

Estos algoritmos diseñados por neuro-científicos y matemáticos, calculan la compatibilidad a través de datos estadísticos como tu popularidad, tus gustos, la forma en que rechazas o aceptas a los perfiles, o la manera en que interacciones con ellos.

Aunque también disponen de algoritmos de reconocimiento fotográfico que analizan y etiquetan nuestras fotos con marcadores de personalidad, que pueden clasificar una persona con una bici como ciclista o “deportista”, o alguien que escala como “aventurero” o “outdoor”.

Su destreza es tal, que pueden incluso categorizar aspectos como tu coeficiente intelectual, tu estado emocional e incluso tu status social.

Pero eso no es todo, existen algoritmos basados en encuestas que pueden estimar la compatibilidad química. Cada uno de nosotros tiene un perfil hormonal de 4 sustancias (testosterona, estrógeno, dopamina, serotonina), y los niveles de cada una te clasifican en 1 perfil amoroso dentro de 12 distintos.

¡Casi nada!

Y es el objetivo de estos algoritmos es aprender lo máximo de ti para buscar los mejores pretendientes. Y bajo los números no les va nada mal, según un estudio Tinder crea parejas más estables que las habituales. Así que ahí queda eso…

¿Te gustaría descubrir más detalles?

Una periodista consiguió destripar a través de una investigación el algoritmo de tinder y sus características más polémicas, como su sistema ELO de puntuación, o promover la atracción entre hombres mayores y mujeres jóvenes. La verdad es que no tiene desperdicio así que te dejo un enlace abajo por si quieres leerlo:

VER EN AMAZON ESPAÑA

VER EN AMAZON AMERICA

Lo cierto es que no todo en internet son ventajas, y es que aparte de cómo estas apps afectan a la conducta humana, o las carencias de información y comunicación no verbal que existen, tener demasiados candidatos también puede ser contraproducente.

La abundancia de opciones le resta valor a cada una de ellas, y esta pérdida de valor se transfiere también a los vínculos, o a la comunicación.

Según el propio tinder aproximadamente la mitad de sus usuarios nunca quedaron con alguien que les gustaba. ¿Cuántas veces charlaste con alguien que nunca más apareció?

Y es que según algunos estudios científicos aumentar demasiado el número de opciones, puede producir mayor insatisfacción en nuestra elección. Especialistas como Helen Fisher, científica de match recomienda no elegir de entre más de 9 posibles candidatos. Y algunas aplicaciones solo ofrecen un solo candidato al día, así que, ¡ojo con pasarte de cierto número rompecorazones!

Aunque… ¿tú qué prefieres ligar en persona o por internet? ¿romántico o un matemático? ¿O quizá una combinación de ambas? Elige una de las 3 y sacamos una estadística entre todos.

6.Estadísticas del Amor

Lo cierto es que nos guste o no internet es una vía más para conocer gente, pero también para extraer estadísticas de emparejamiento que nos revelan más detalles del comportamiento humano, como puede ser la diferencia entre sexos.

¿Crees que hay mucha diferencia entre chicas y chicos?

Te adelanto que el comportamiento del hombre y de la mujer cuando se trata de conseguir pareja son muy distintos.

Los chicos le dan like al 47% de los perfiles que se le presentan, mientras que ellas solo lo hacen un 12% de las veces. Lo que da a entender que los hombres en general tienen menos filtros, mientras que las mujeres son más selectivas, y se fijan en más aspectos.

Aunque quizá sea porque puedan permitírselo.

y es que ellos no solo dan más likes, sino que también empiezan el contacto cerca del 80% de las veces cuando se trata de una búsqueda hetero. Con lo cual, podemos deducir que lo último que os faltan a las chicas son pretendientes…

En cualquier caso… ¿Crees que las chicas deberían tener más iniciativa ó son los chicos los que tienen demasiada? ¡quiero tu opinión!

Pero tener más candidatos no significa tener más éxito.

Las mujeres reciben muchos más flechazos que los hombres en comparación, sin embargo la mayoría son inútiles porque no llegan a ningún puerto. En cambio los hombres tienen menos candidatos pero de mayor calidad.

Quizá por ello su interés está más repartido. Tan solo el 7% de los hombres contacta de forma inmediata con un match, mientras que las mujeres lo hacen un 21%, lo que rebela que en general la mujer tiene más claro quién le interesa.

En cualquier caso la calidad equilibra la cantidad, y tanto hombres como mujeres tenemos las mismas posibilidades de encontrar una pareja heterosexual satisfactoria, lo cual es lógico si cada una se compone de un hombre y una mujer.

Otro dato curioso es que el porcentaje de parejas homosexuales que se conocen online es mucho más alto que el de heterosexuales.

Más de la mitad de los matrimonios en la actualidad comienzan online, y más de un 80% en las parejas homosexuales.

Y es que en general aunque nos guste o no los flechazos cada vez son más digitales.

Pero un flechazo es solo el principio, porque el verdadero filtro que la mayoría no pasa, es la comunicación. Sobretodo en la primera frase.

Solo un 6% de las conversaciones que empiezan con palabras simples como “hey” tuvieron alguna palabra más después, así que si quieres llamar la atención de alguien, ¡más vale que te esfuerces!

Aunque si a pesar de eso no te contestan, tampoco te culpes:

Hay muchos motivos por los que la gente no responde:

Fíjate que muchos ni siquiera dependen de ti….

Y es que nos guste o no hay que aceptar que a veces la gente va a lo suyo. No obstante vamos con otros consejos interesantes:

7.Algunos consejos

Tener fotos bien hechas y variadas en tu perfil también aumenta las posibilidades de match, Las fotos que tienen una actitud abierta y vital son un 27% más susceptibles de éxito, lo que confirma que ¡la imagen es importante!.

Aunque no solo las fotos, según Tinder aquellos perfiles con una biografía rellena produjeron cuatro veces más coincidencias que los que no lo hacían, así que ¡completa bien tu perfil!.

Otra revelación importante es que tu atractivo no define necesariamente tu popularidad:

Gracias a los datos recogidos en la web de matemáticos OkCupid se puede ver que las personas más populares suelen tener una aceptación más dividida, que las personas que son bellas para la mayoría. Y es que aunque no lo parezca es mejor que solo algunos piensen que eres atractivo, que lo piense todo el mundo. Porque si alguien al que gustas sospecha que tiene menos competencia tiene un incentivo extra para abrir una conversación. La dispersión te favorece, así que muestra más aspectos de ti, además de tu belleza.

Ves cómo las matemáticas dan para mucho? Es importante que las tengas en cuenta.

Gracias a ellas puedes saber que las aficiones comunes atraen menos gente, o que un domingo por la tarde tienes más probabilidades de hacer match con la misma persona.

Si estas recomendaciones te parecen importantes pero quieres convertirte un experto del ligue para marcar la diferencia, te dejo un pequeño manual de tinder en mi con las más importantes, por si te interesan.

VER  MANUAL DE TINDER

Hasta ahora hemos visto cómo las matemáticas nos ayudan a conseguir pretendientes, aunque ¿cuántas citas necesitamos para conseguir nuestra pareja definitiva?

Si solo buscas sexo, bastan unas 3 citas en promedio para conseguirlo.

Pero si la idea es tener una pareja seria, la cosa cambia.

Según un estudio en Inglaterra para conseguir la pareja definitiva se necesitan en promedio 15 personas besadas y al menos 2 relaciones serias.

Así que si las cosas no salen, no te preocupes porque probablemente todavía estás por debajo de la media.

8.La parada óptima (límite para elegir a tu pareja)

Aunque si no quieres saber cuántas necesitas, sino cual es el límite que debes marcarte, existe la teoría de la parada óptima.

Esta calcula cuándo es el momento exacto para elegir nuestra pareja definitiva, si podemos estimar cuántas relaciones podríamos tener a lo largo de nuestro periodo de emparejamiento. La idea es rechazar por sistema a todas las posibles parejas hasta llegar al 37% de ese total, y una vez superado ese porcentaje, elegir a la siguiente persona que sea mejor que todas las anteriores. ¿Suena fácil no?

El método que no está exento de riesgos, garantiza la mayor tasa de éxito estadísticamente hablando, así que ya sabes que el amor también tiene un número, ¡Compártelo!

Pero si te has fijado, todos estos algoritmos requieren que adquiramos una sensación mínima del mercado antes de encontrar la pareja definitiva, lo cual se asemeja si lo piensas al comportamiento natural. y es que aunque resulte increíble, todos tenemos cierta intuición matemática para buscar pareja.

9.Evitar la separación

Aunque si eres de los que ya han encontrado a su media naranja, ¿en que pueden ayudarte las matemáticas?

Cuando conseguimos la pareja definitiva, el mayor hándicap es conservarla, ya que como sabemos el amor romántico dura cerca de 28 meses, y las separaciones hoy en día son bastante habituales.

Sin embargo aunque no lo creas, las matemáticas también pueden explicar porque nos separamos.

Hay estudios que han conectado de manera directa el éxito de una relación con la positividad o negatividad de sus conversaciones, prediciendo con un 90% de acierto que parejas tenían fecha de caducidad y cuales no. ¡Tal y cómo lo oyes!

Dos matemáticos modelaron una ecuación que cuantifica el estado emocional para cada miembro de la relación y que puede explicar las espirales de negatividad a las que se someten las parejas que se separan.

Esta fórmula que también se utiliza para conocer lo que sucede entre 2 países durante una carrera armamentística, puede equiparar una de estas espirales, con el comienzo de una guerra mundial.

¿Como te quedas?

Pero el factor más importante de la ecuación es el umbral de negatividad, y es que a diferencia de lo que se podría creer, las parejas más exitosas tienen un bajo umbral de negatividad, esto es que tienen un margen pequeño para ignorar o pasar por alto cosas que les molestan.

Arreglar continuamente la relación ayuda a que los pequeños problemas no acaben por destruirla, así que si tienes pareja, ¡acuérdate de las matemáticas!

Y es que si consigues aguantar mucho tiempo, tendrás más opciones de que tu pareja sea la definitiva, porque independientemente de si eres feliz o no, a medida que envejecemos es menos probable la separación.

10.Encontrar pareja en el futuro

Aunque si finalmente no lo consigues, no hay mucho que puedas hacer para recuperar tu tiempo, porque tanto si buscas pareja, como si mantienes una relación, es inevitable consumir un tiempo de vida que es completamente irrecuperable, y que no siempre garantiza el éxito.

Por eso la pregunta más importante es: ¿se podría probar una relación, sin perder algo tan valioso como tú tiempo?

Esta idea que se desarrolla en mi capítulo preferido de Black Mirror, presenta un sistema donde toda la interacción se hace a través de un yo digital, y se calcula la compatibilidad tras miles de simulaciones.

Lamentablemente todavía estamos algo lejos de eso.

Quizá en un futuro gracias a la inteligencia artificial y los avances genéticos se pueda calcular una compatibilidad suficiente, para no perder tiempo buscando a la persona más compatible que existe. La verdadera media naranja sería solo una cuestión de cálculo…

pero mientras tanto… ¡habrá que seguir intentándolo!

The post Las Matemáticas del Amor first appeared on Math4all.

1.Historia de los Conjuntos Numéricos
2.Descubriendo la Raiz de -1
3.El Número Imaginario i
4.Situación
5.Representación
6.Operaciones
7.Calculadora de Números complejos
8.Historia de los Números Complejos

¿Alguna vez te has preguntado si los números que utilizas sirven para todo? ¿puedes hacer cualquier cosa con ellos o tienen sus limitaciones?

Si quieres que te lo cuente, no te pierdas el sorprendente mundo de los números complejos.

1.Historia de los Conjuntos Numéricos

Los números que utilizas no han sido siempre los mismos. Al igual que aprendes primero contar, después números negativos, luego fracciones y vas ampliando… la historia de los números ha tenido exactamente la misma evolución.Los números naturales (N) que usábamos para contar no servían poder representar deudas o resultados negativos, así que tuvieron que ampliarse a los números enteros.

Pero los enteros (Z) no eran muy completos, porque tampoco servían para poder repartir porciones o calcular las partes de un todo. Por eso tuvieron que ampliarse nuevamente a los racionales (Q).

Después se añadieron los irracionales (I) que no pueden expresarse como una fracción entera, y de esta manera ya teníamos los números reales, un conjunto para albergarlos y operarlos a todos.

2.Descubriendo la raiz de -1

Pero.. ¿seguro que todos? ¿Y si te dijera hay mas números que los reales?

Mira esta ecuación:

X² + 1 = 0

Es una ecuación de segundo grado aparentemente sencilla, y basándonos en el teorema fundamental del Álgebra tiene 2 soluciones porque es de grado 2.

Si la operamos y despejamos la x, las dos soluciones de x son raiz cuadrada de un número negativo. La cual no tiene solución porque no podemos multiplicar dos veces un número y que dé negativo.

Si multiplicamos 1 dos veces nos da positivo y si lo hacemos con -1 también nos da positivo. Dicho de otro modo no podemos elevar un número real al cuadrado y que nos dé -1, porque eso sería como pedirle a un cuadrado de área -1, que los dos lados sean iguales cuando solo tenemos 2 combinaciones y ninguna sirve.

¿Entonces cómo puede ser que haya 2 soluciones?

¿Nos conformamos con que no existen o aceptamos esas soluciones no pueden ser números reales?

Ya sabes que un matemático nunca se rinde!!! pero como conseguimos que x² sea -1?

Tenemos que multiplicar dos veces el mismo número y llegar hasta -1…. pero ¿no parece posible verdad?

3.El número imaginario “i”

Sabemos que multiplicar por -1 es como cambiar de signo. Ya que saltamos de ese número a su inverso en la recta real. Si tenemos el 5 pues acabamos en -5 y si empezamos en -5 acabamos de nuevo en 5.Pero entendámoslo de una manera visual. Si representamos el número como un vector, multiplicar por -1, es cambiar la dirección de ese vector a la contraria para calcular el resultado. O dicho más sencillo rotar 180 grados desde el origen. Si en vez de multiplicar una vez, lo hacemos 2 volvemos al punto de partida, porque rotamos 2 veces 180 y eso es una vuelta entera.

Por eso no podemos llegar a -1 multiplicando 2 veces el mismo número!!!

O quizá si?

¿Que pasaría si cada multiplicación recorriera solo la mitad del camino?,

en ese caso el número tendría que estar en el punto intermedio entre 1 y menos 1, pero el único número que hay es el 0, y sabemos que 0 no puede ser porque al multiplicar una segunda vez se quedaría de nuevo en 0. Entonces, sabemos que ese número tiene que estar a la misma distancia que 0, pero no puede ser 0. Con lo cual solo cabe una posibilidad y es que el número esté obligatoriamente fuera de la recta, ya que es la única manera de que el vector rote 90 grados en lugar de 180.

Eso quiere decir que el número que estamos buscando está situado lateralmente en una segunda dimensión con respecto a los números que conocemos!!.

Pues bien a este número se le conoce como número imaginario “i” (aunque no me gusta mucho llamarlo así), y es la primera unidad para el nuevo eje de ordenadas, que lógicamente podemos representar como (0,1). Abscisa 0 y ordenada 1.

¿Como íbamos a encontrar la solución viendo los números como puntos de una recta?

Ahora ya puedes situar espacialmente cualquier raíz cuadrada negativa, y sus respectivas inversas, ya que si recuerdas la ecuación existían dos soluciones y nosotros sacamos tan solo la primera de ellas rotando el vector en un sentido. Pero también podíamos llegar a -1 rotando 90 grados en sentido contrario multiplicando por -i dos veces. Evidente ¿o no?.

4.Situación de los Números Complejos

Ahora ya sabemos que hay números perpendiculares o laterales a los números reales!, pero estos tampoco son todos… Si en vez multiplicar 2 veces buscamos multiplicar 3, necesitamos un ángulo de 60 grados en lugar de 90, y son 4 de 45,

con lo cual todas estas raíces se sitúan espacialmente fuera de los ejes, lo que significa que hay números por todo el espacio!!!!

Si los números están en cualquier parte del plano, lo correcto es expresarlos en dos dimensiones, ¿o no?

Pues ese es precisamente el conjunto de los números complejos, los cuales podemos representar con una simple coordenada.

Pensábamos que solo había una recta, ahora resulta tenemos un espacio lleno de números!!! Vaya locura!!

5.Representación de los Números Complejos

Aunque no es necesario expresarlos siempre con coordenadas…

-La representación de un complejo mediante un par ordenado, es solo la forma binómica.

-Pero si lo hacemos con un vector y un ángulo, tenemos la forma polar o trigonométrica (y pones la fórmula con el modulo y el argumento)

-Y si lo hacemos como una potencia ( que nos lo permite la Identidad de Euler ). Tenemos la forma exponencial.

Elegir una u otra notación depende de cuál nos sea más sencilla para trabajar con las operaciones que tenemos que hacer.

6. Operaciones de Números complejos

Pero imagino que te preguntas ¿como demonios se operan números en dimensiones?

Estas son las operaciones:

SUMA: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) Pues bien, la suma de complejos es muy sencilla. Parte real con parte real, y parte imaginaria con parte imaginaria. No podemos mezclar ambas cosas.

PRODUCTO: (a,b)x(c,d)=(ac-bd,ad+bc) En cambio el producto si cruza ambas componentes, para poder cumplir las reglas geométricas que hemos visto. Aunque se puede calcular fácil con la propiedad distributiva y teniendo en cuenta que i² es -1.

En definitiva si interpretamos el producto geométricamente:

-Es muy fácil ver que los módulos o distancias de los vectores de los dos números se multiplican y que los argumentos o ángulos se suman. Esto es suficiente para deducir que:

-Multiplicar un número real por un numero imaginario (puro) positivo es rotar 90 grados, y si es negativo -90 grados. (Con lo cual si i² era dar media vuelta i a la cuarta será dar la vuelta completa y volver a 1, y cualquier potencia posterior se repite).

-Que el producto de un numero real por un imaginario puro es imaginario puro.

-y por último la más impactante, que el producto de dos imaginarios puros es siempre real!!!.

(fíjate cualquier punto en abcisas al que apliques esos ángulos acabará en ordenadas, y viceversa)

¿Curioso verdad?, números que pensabas que no existían pueden darnos un resultado que si existe. Parece que ni los reales son tan reales ni los imaginarios tan imaginarios!!

Como ves todas estas operaciones amplían lo que ya conoces pero en números complejos, aunque también puedes sumar o multiplicar 2 números convencionales, que tienen segunda componente 0, y el resultado será el mismo.

Ahora si que ya podemos hacer lo que queramos!!

Lo primero que teníamos pendiente era comprobar que i² es -1:

y como ves si aplicamos la regla del producto todo cuadra.

7.Calculadora de Números Complejos

Pero también teníamos pendiente comprobar las dos soluciones de raíz cuadrada de -1, por eso vamos a usar nuestra calculadora de números complejos, seleccionamos la operación raíz cuadrada y como ves también es así (0,1) o (0,-1)

IR A LA CALCULADORA DE NÚMEROS COMPLEJOS

¿Ves como existían las soluciones?, la clave era entender los números como algo en dos dimensiones.

De esta manera si podemos ver que el área negativa de un cuadrado, puede tener 2 lados iguales, porque en 2 dimensiones 2 lados son 4 combinaciones y no 2.

Pero si eres de los que se plantean todo, entiendo te puedas estar confuso o molesto con los números imaginarios, porque ¿qué sentido tiene definir unas reglas para dar una solución que no “existe”? ¿Para qué sirve una solución que no es real? Si te planteas todo esto no te preocupes porque no eres la única persona que se ha hecho esa pregunta.

8.Historia de Números Complejos

En el siglo XV el matemático Rafael Bombelli intentaba resolver una ecuación de tercer grado x³=15x+4 con la fórmula de Cardano. Pero al aplicarla la solución tenía dos raíces negativas de -121. Como en esa época no se sabía el valor de raiz de -1, Bombelli calculó la solución para la ecuación probando manualmente valores hasta encontrarla. Ahora ya sabía que aunque la expresión tuviera números imaginarios el resultado tenía que ser con seguridad un número real.Así que se propuso desarrollar la expresión para ver si podía simplificarla, utilizando una de las pocas operaciones complejas que conocía y que era cierta (que la raiz de menos uno al cuadrado tenía que ser -1).

De modo que utilizando la solución que ya conocía y resolviendo un sistema de ecuaciones, pudo simplificar finalmente la fórmula hasta quedarse sin números imaginarios, y obteniendo la solución que esperaba.

Es decir que partiendo de un problema real, calculó una solución real pero operando con números imaginarios, lo cual nos indica que los números imaginarios  conectan correctamente ambas dimensiones!!

Y en este punto me gustaría pararme y preguntarte: ¿qué es lo real? ¿Acaso los números que conocemos són reales? o pueden considerarse más reales unos que otros? Y en ese caso de ser así, ¿no son más reales aquellos que permiten resolver más problemas, aunque no sean tan intuitivos?

Y es que el error siempre fué llamar real a lo que no es real, e imaginario a lo que no es imaginario. ;). Espero que el video os haya gustado y vuestros comentarios. Y nada esto ha sido todo, así que gracias por vuestro tiempo, y nos vemos en el siguiente video.

The post Los Números Complejos first appeared on Math4all.

El parchís es un juego más complicado de lo que parece, y en este artículo voy a enseñarte como las probabilidades pueden ayudarte a mejorar tu estrategia para no depender exclusivamente del azar.

Bienvenido entonces a las matemáticas del parchís.

1.Reglas del Parchís
2.La ventaja en Parchís
2.1.Gestionar la ventaja
3.Prioridad
4.Probabilidades de parchís
4.1.Probabilidades de comer/ser comido
4.2.Probabilidad para salvarnos
4.3.Probabilidad en ataque
5.Parchis online
6.Tutorial práctico de parchís

1.Reglas del Parchís

El parchís es un juego de mesa de hasta 4 jugadores, donde podemos jugar 1 contra 1, por parejas, o 4 individual. Puede jugarse con 1 dado en la versión clásica, aunque normalmente suelen utilizarse 2 dados para agilizar la velocidad de las partidas.

• Cada jugador dispone de 4 fichas para moverlas en su turno con el resultado del lanzamiento de los dados, moviendo la ficha deseada con cada dado.
• El objetivo es llegar a meta con todas las fichas antes que el rival, dando la vuelta con todas ellas hasta la entrada de nuestro color, introduciéndolas en meta con el valor exacto. Y si la partida es por parejas, tendrán que ser todas las fichas de la pareja.
• Antes de llegar con cada ficha a la casilla de meta el jugador puede comer fichas del oponente que no estén a seguro, armar puentes o barreras con dos fichas o poner sus fichas a salvo en las casillas de seguro. Estos seguros se distribuyen cada 5 o 7 casillas.
• Las reglas para salir de casa es sacar un 5 con alguno de los dados o con la suma de los dos.
• Si sacamos doble valor con ambos dados volvemos a tirar, y si sacamos doble 3 veces seguidas nuestra ficha vuelve a casa siempre y cuando no esté ya en la zona de meta. Existen otras reglas para diferentes modalidades pero estas son las oficiales.

Nuestro cometido entonces es gestionar el movimiento de las fichas para tener las mayores opciones de ganar la partida.

Yo soy especialista en parchís de 1 contra 1, y me voy a centrar en esta modalidad, pero la mayoría de la teoría que voy a enseñar es fácilmente aplicable parejas o 4 individual.

2.La Ventaja en Parchís

Como has visto Las reglas son muy sencillas, pero antes de saber como ganar a nuestro rival, ¿como sabemos quién está ganando?

Saber que jugador tiene ventaja en parchís es importante y para averiguar esto  vamos a analizar primero el tablero.

En parchis cada ficha recorre exactamente 71 casillas desde que sale de casa hasta que entra en meta. Si multiplicamos eso por cada ficha necesitamos en total 284 movimientos entre las 4 fichas para terminar nuestra partida.

Supón que tienes tus fichas distribuidas con esta configuración:

En esta, la ficha más cercana a meta necesita 8 movimientos para entrar en meta, la siguiente mas cercana 25 movimientos, la siguiente mas cercana 42 movimientos, y la mas alejada 59 movimientos. Es decir que entre todas suman 134 movimientos para terminar nuestra partida o lo que es lo mismo que decir que has realizado 150 movimientos de 284 (simplemente es hacer la resta).

Si en el mismo instante tu rival lleva 130 movimientos, sabes con certeza que a priori tu tienes más probabilidad de ganar la partida, pues te quedan menos movimientos para terminar. Es sencillo no?

Tenemos a priori una manera de saber quién tiene ventaja, y aunque la ventaja no es exactamente las probabilidades de ganar como ya veremos, pero nos da una idea de cómo vamos.

Si eres capaz de ver quién tiene esta ventaja aunque sea de una manera visual, tienes una información muy valiosa para controlar la partida. ¿Te imaginas para qué?

La estrategia del parchís es muy simple, cuando tienes ventaja debes mantenerla, y si la pierdes tienes que recuperarla, por eso es importante saber si efectivamente estas ganando o perdiendo, para saber si hay aplicar una estrategia agresiva o más conservadora. Y esto depende del riesgo!

2.1.Gestionar la ventaja

Imagínate que ya dispones de mucha ventaja y tu rival tiene todas sus fichas en la parte izquierda del tablero. Además tu tienes una ficha rezagada que hace de tapón a sus fichas más adelantadas. Una técnica habitual cuando el rival ve que tenemos ventaja es atraparnos la ficha con puente acercando dos fichas para cazarla. Pero si eres consciente de tu amplia ventaja, verás que tiene poco sentido impedir su paso si para eso necesitamos arriesgar una ficha. Por lo que lo más inteligente es moverla a la otra parte del tablero lo antes posible donde esté segura, para seguir con la misma ventaja pero esta vez sin riesgo.

Imagina otra situación donde tienes ventaja suficiente y puedes elegir mover la ficha más adelantada por prioridad o la ficha que no está en seguro para ponerla a salvo. Si analizas y ves que tu ventaja es suficiente para ganar, ¿Qué sentido dejar una ficha en riesgo pese a estar a una distancia considerable?

Si el rival saca un doble puede acercar la ficha hasta la tuya e incluso matarla en la siguiente tirada, ¿pero cual es la probabilidad de sacar doble?

Sacar un doble es probablemente más fácil de lo crees, ya que con 6 casos de 36 tenemos aproximadamente un 16,6% de probabilidades de obtenerlo, o 1 sexto, es decir que 1 de cada 6 veces que tomemos esta decisión pondríamos en riesgo una partida que tenemos prácticamente ganada. Esto nos demuestra la importancia de tener todas las fichas a salvo especialmente en una situación de ventaja. y es que cualquier detalle mal calculado puede poner en riesgo la partida entera. Por tanto si tienes ventaja, no arriesgues si no es necesario.

Otra situación de riesgo a evitar es asegurar nuestra ficha en la casilla de salida del rival cuando este tiene una ficha en la salida y otra en casa, o las dos en casa. Porque con tener una ficha fuera le vale un 5 para matarnos y eso ocurrirá casi la mitad de las veces que tire (41,67%), lo cual no nos interesa.

En conclusión si tienes una ventaja lo suficientemente grande para ganar debes adoptar una postura conservadora, es decir evitar el riesgo o la confrontación en la medida de lo posible, moviendo la ficha que sea necesaria.

3.Prioridad en Parchís

Como has visto, hay situaciones donde poner nuestras fichas a salvo es más importante que mover fichas mas adelantadas, entonces da igual la ficha que movamos?

Me imagino que piensas que tanto si mueves una ficha atrasada como una adelantada estás moviendo las mismas fichas en computo global, entonces elegir una u otra no parece darnos más o menos ventaja.

Pero aunque no lo creas mover la más adelantada si puede darte más opciones de ganar. Hay que tener en cuenta que cada meta suma 10, y si mueves siempre la ficha más adelantada, vas a llegar antes con con las mismas tiradas, puesto que ganas esa ventaja antes. Por eso si solamente tienes que llegar a meta hazlo siempre por prioridad y no muevas fichas mas atrasadas de manera agrupada.

Mover todas las fichas en grupo sin un concepto de prioridad, es un error si no se justifica. El movimiento en grupo implica mover las fichas más atrasadas y eso adelanta tu defensa, lo que permite al rival avanzar más fácil y presionarte con las fichas adelantadas. Además al mover las fichas en grupo avanzas muy lento con la ficha que tienes delante y eso no te permite llegar rápido hasta el rival para presionar lo antes posible. En definitiva mover en grupo no te hace perder ventaja como tal, pero si no tiene un motivo estratégico si te quita posibilidades de ganar.

Me imagino que te preguntas si estoy diciendo que la probabilidad de ganar y la ventaja no son exactamente lo mismo, y efectivamente no lo son.

En este otro ejemplo puedes ver que nuestro rival está más lejos en movimientos, sin embargo nuestra probabilidad de ganar es más baja. Te preguntas porqué?. Si te fijas tienes que meter aún 4 fichas y él prácticamente está a 1 tirada de poder llegar a meta con una sola. Necesitas como mínimo 2 tiradas para meter las 4 fichas, aunque si no consigues sacar un 1, seguirás sin tener opción por seguir teniendo 2 fichas bloqueadas.

Ahora puedes comprender que la probabilidad de ganar depende también de como gestionamos y posicionamos las fichas aparte de la ventaja, y en este caso hubiera sido mejor meter las fichas más adelantadas en meta por prioridad antes de esperar tanto.

Otra técnica para que no se te acumulen fichas en meta, es dejar tus fichas cuando llegan a una distancia 10 de meta, pues si consigues meter una que tengas en zona de meta, las otras van inmediatamente. Simplemente necesitas 1 acierto para meter varias fichas, y eso hace menos probable que se acumulen.

Resumiendo cuando no hay riesgo movemos siempre la ficha más adelantada, pero que pasa cuando si lo hay?.

En este ejemplo ya hemos sacado 2 dobles seguidos y corremos el riesgo de sacar un tercero. Si no tienes una ficha para mover en zona de meta que anule la norma de los 3 dobles, debes elegir que ficha pones en riesgo por si llega el tercer doble. En esta situación la decisión que mejor minimiza el riesgo sin tener en cuenta la estrategia es mover la ficha más retrasada, porque en caso de ser eliminada es la que menos ventaja nos hace perder. Estamos eligiendo en este caso por prioridad la ficha más retrasada.

Aunque puedes pensar que sacar 3 dobles es complicado, y no te equivocas, de hecho tienes 0,46% de posibilidades de sacar 3 dobles antes de que suceda, pero cuando ya han salido 2, sacar un tercero es exactamente igual de fácil que sacar el segundo.

En definitiva la prioridad cuando hay riesgo funciona al revés, y es mejor arriesgar la ficha más retrasada siempre que sea posible y correcto estratégicamente.

Pero si no hay riesgo, ni tampoco estrategia moverás y entrarás en meta con las fichas más adelantadas, para evitar que tipos como miniyo te acaben ganando por despistado

No obstante si el rival es bueno, te impedirá normalmente poder hacer esto forzándote a mover fichas mas retrasadas, para ser él el que mueva las fichas que tiene delante, para controlar la partida. Así que mucho cuidado!.

4.Probabilidades del Parchís

Acabas de ver como el riesgo cambia la prioridad para elegir que ficha mueves, pero a que distancia hay que mover una ficha para que no te maten? Es mejor estar a 2 casillas, a 4 o da igual? Qué piensas?

-Fuera de tiro

Como ya sabes el valor máximo de un dado es 6, y eso hace que la suma de dos dados pueda ser como máximo 12. Por lo que te recomiendo estar a una distancia mayor a 12 si es posible , ya que a más de 12 casillas no pueden matarte de manera directa.

Y que pasa por debajo de 12, todas las distancias son igual de probables?

-A tiro (distancia menor a 12)

La verdad es que no, porque hay casillas que están a tiro directo y otras que no. Estarás de acuerdo que a 6 casillas o menos, cualquiera de los dos dados puede matarte, puesto que un dado llega hasta 6.

En cambio a más de 6 el contrincante necesita la suma de los dos dados para matarte, lo cual es más difícil por probabilidad. Por tanto conviene también más estar a 7 casillas o más de distancia siempre que sea posible.

-A tiro directo (distancia menor a 7)

¿Y que pasa a menos de 7?

incluso a una distancia menor a 7, la probabilidad tampoco es la misma, porque además de matarte de manera directa, puede hacerlo con la suma y no todas las sumas son igual de probables.

Hacerlo de manera directa si tiene la misma probabilidad, porque sacar cualquier valor del dado es igual de probable, es lo mismo sacar un 3 que un 6. Pero ¿crees que es igual de probable sumar un 3 que un 6?

Como puedes deducir podemos sumar 3 únicamente de 2 maneras diferentes, 2-1 y 1-2, en cambio podemos sumar 6 de 4 maneras distintas, por eso la probabilidad de sumar cambia y en este caso es mayor para 6.

¿Pero como calculamos toda la probabilidad?

4.1.Probabilidad de Comer/ser comido

Conocer la probabilidad de que nos maten tanto con la suma, como con el primer dado o el segundo de manera directa es la probabilidad de la unión de los 3 sucesos:

• A: “Que salga el valor con el dado 1”
• B: “Que salga el valor con el dado 2”
• C: “Que salga el valor con la suma de los dados 1 y 2”

Aplicamos la probabilidad para la unión de 3 sucesos:

P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)

y esto se simplifica como P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B) ya que P(A∩C), P(B∩C) y P(A∩B∩C) son 0 ya que la suma de dos dados nunca puede dar el mismo valor que uno de los dos. (al hablar de sucesos A y B, A y C mutuamente excluyentes)

Pero como sé que no tiene porque interesarte, te enseño directamente los resultados:

4.1.1.Probabilidad sin tener en cuenta la siguiente tiradaQue pueden representarse con la siguiente gráfica:

Como ves estar a 6 casillas es donde más probabilidad tienes de que te maten, gracias a que como ya has visto es mas fácil obtenerlo con la suma, y a más te alejas de 6 cada vez más difícil como dedujimos.

En cambio a más te acercas a 1 es más difícil que te maten.  siendo esta la mejor distancia a priori, ya que si lo piensas 1 no puede obtenerse como la suma de dos dados. ¿Era lo que te imaginabas?

El problema es que a una distancia tan cercana existe más riesgo de seguir a tiro en la siguiente tirada y este cálculo no lo está teniendo en cuenta. Por esa razón debemos añadir también la probabilidad que el rival tiene de matarnos en la siguiente tirada si estamos en esa posición.

4.1.2.Probabilidad teniendo en cuenta la siguiente tirada

Actualizando también el gráfico:

*Cálculo simplificado no se tiene en cuenta los dobles

Y como ves la cosa cambia bastante!. Las primeras posiciones tienen bastante más riesgo por culpa de la siguiente tirada, y al final lo peor es la primera posición, porque la probabilidad de que nos maten en la siguiente tirada descompensarse la balanza de la otra probabilidad. Y lo mejor, es poner la ficha a distancia de 4 o 5, que te posiciona más alejados y sin tanta probabilidad de morir como a 6.

¿Nunca pensabas que el parchís pudiera dar para tanto verdad?

4.2.Probabilidad para salvarnos

Ahora ya sabes donde es mejor situarte para que no te maten. Pero cuando ya estas lejos, tienes que pensar más en donde situar tu ficha desprotegida para alcanzar un seguro con mayores posibilidades.

En este ejemplo vemos que situando la ficha en el la casilla 15 optas a salvarla con un 1 o sumando 7 con los dos dados para llegar hasta la 22, lo cual es menos probable. En cambio si tienes la posibilidad de ponerla en la 16, salvas la ficha con un 1 y con un 6, por lo que tienes muchas más probabilidades de poner tu ficha en casilla segura en la siguiente tirada.

y es que estas zonas siempre son mejores para ponerte a salvo.

4.3.Probabilidad en el ataque

Como has visto se pueden evitar riesgos innecesarios para evitar ser comidos, pero cómo se gestiona un ataque?

Pensar en ataque es utilizar la misma información de la tabla pero esta vez al revés, para posicionar tu ficha por detrás, pero buscando esta vez la mayor probabilidad y no la menor. Esto es situarte por detrás a una distancia 6 si vas a repetir turno o sabes que el rival no puede mover esa ficha. Y en caso de que si tenga la capacidad de escapar pues lo más cerca posible, que es 1 si vas por detrás o 0 si está en seguro, porque es donde más probabilidad tienes de comerle en la siguiente tirada si decide moverla, como indica la tabla.

Pero ten cuidado de quedarte sin margen de maniobra con las demás fichas, porque estando tan cerca corres el riesgo de pasarte con los dados y ser tú el que acaba a tiro, ya sea con esa ficha o con la que decidas mover. Por lo que si existe ese riesgo, lo mejor según las matemáticas es estar a una distancia prudencial de 6 casillas donde obtienes un ratio óptimo en cuanto a beneficio-riesgo si tu intención es matar.

5.Parchís online

En el próximo video podrás ver las estrategias de ataque que existen en parchís, y como gestionar las barreras, pero para no hacer muy larga la espera puedes probar estas estrategias jugando a parchís online en diferentes plataformas. Parchís Star, Parchís mundijuegos o Parchís Playspace.

-Parchis Star

Pros: Comunidad muy grande, es gratis.

Contras: Diseño poco llamativo, No tiene partidas turbo. Pocas variantes.

-Parchís Mundijuegos

Pros: Puedes jugar también en website, es gratis.

Contras: Necesita flash player para web, comunidad pequeña.

-Parchís playspace

Parchis playspace (para mi el mejor)

Contras: Algunas personalizaciones son de pago.

Yo suelo jugar al parchís de playspace porque me gusta más su diseño, pero sobretodo porque permite jugar partidas rápidas, que es lo que a mi me gusta, por lo que te dejo un enlace por si te apetece jugarlo.

6.Tutorial práctico de Parchís

Si todo esto te parece demasiado teórico, también te incluyo un pequeño video aprender como jugar a parchís esta con partidas reales y rivales reales. Para que puedas aprender de una manera mas cercana sin tanta teoría.

Contra rivales fáciles:

Contra rivales difíciles:

Espero que te resulte práctico y si quieres mas videos como este de juego en vivo, deja un comentario al final del artículo. Saludos.

The post Las Matemáticas del Parchís – Reglas, Probabilidades y Estrategia first appeared on Math4all.

En este video analizo otros aspectos del Póker más técnicos como son el rango, la posición o el cálculo del EV.

1.Rango
2.Factores de Póker
3.Posición
4.EV
4.1.EV de Call
4.1.1.Calculadora de EV
4.2.EV de All-in
5.Otros Factores
6.Estrategia Preflop
7.Equilibrio

En el último video de las matemáticas del poker vimos un resumen de las reglas del juego, y cuál es la probabilidad de ligar cada mano.

Después vimos las outs y las odds, que son las probabilidades que se utilizan en poker, y aprendimos a calcularlas y a consultarlas con nuestra tabla de odds y outs.

También vimos como podemos aproximar estos valores mentalmente sin necesidad de tablas, y por último aprendimos a utilizar una calculadora de poker, y vimos como se relacionan las odds que calculamos para nuestros proyectos con nuestras probabilidades reales.

En cualquier caso no respondí como calcular nuestras probabilidades cuando no conocemos las cartas de nuestros rivales, y tampoco porque puede ser rentable una mano que tiene pocas probabilidades de ser ligada. Por eso si te quedaste con la duda o simplemente tienes curiosidad por responder a estas preguntas vamos con la segunda parte de las matemáticas del póker.

1.Rango

Como vimos en el anterior video, el Póker es un juego de información incompleta, ya que no conocemos las cartas de nuestros rivales. En consecuencia lo que podemos calcular viene de una estimación de que manos podrían tener, en base a los proyectos que pueden completar con las cartas comunitarias. Pero también conociendo que manos suele jugar con frecuencia o cuales prefiere descartar en ciertas fases del juego.

Algunos jugadores suelen jugar un número muy reducido de manos, porque se sienten más seguros jugando así. En cambio otros más recreacionales prefieren utilizar un número mas amplio. ¿Te has preguntado alguna vez que tipo de jugador eres tú?

La realidad es que todos tenemos un filtro para elegir que manos jugamos y cuales no, que es más o menos grande dependiendo de nuestro estilo de juego.

Pues bien, el grupo de cartas que conforman esa estimación se les conoce como rango y se representa a nivel de software con una matriz donde puedes seleccionar que cartas lo conforman.

Si quieres calcular las probabilidades de tu mano teniéndolo en cuenta, lo que debes hacer es calcular las probabilidades tus cartas frente a ese rango que estimas, eliminando todas esas manos que son imposibles o muy poco probables que el rival esté jugando, dado su perfil o la situación de juego. De esta manera obtendrás un cálculo lo más cercano posible al real con la información que tienes. Por eso a mejor sea la estimación que haces, más preciso será el cálculo de tu probabilidad, y por eso es importante adquirir un conocimiento técnico sobre qué rangos pueden tener nuestros rivales. Pero también es importante conocer nuestro propio rango.

A nivel práctico, te recomiendo un software de trackeo para hacer esto, ya que además de calcular probabilidades con rangos es capaz de analizar el juego de tus rivales y ofrecerte estadísticas personalizadas. Esto lo hace guardando los datos de las partidas que os van enfrentando y de esta manera puedes conocer que número de manos juega voluntariamente, el porcentaje de veces que ha subido en el preflop, o cualquier variable que consideres importante. La estadística de un jugador siempre puede ofrecernos una ventaja a largo plazo para tomar decisiones. Aunque ten en cuenta que esto es solo para Póker online.

DESCARGAR SOFTWARE DE TRACKEO

La verdad es que este software mola mucho, pero mucho. Y ahora que ya has visto como calcular rangos, ¿que más crees que debes tener en cuenta para tomar una decisión?

2.Factores de Póker

Decidir cuando igualar una apuesta, subirla con cierta cantidad o tirar nuestras cartas es lo que determina que tan buenos jugadores somos a largo plazo, pero elegir una u otra depende de muchos factores, así que he elaborado una lista para que puedas verlos:

Algunos dependen solo de nuestra información, y otros de la información que nos proporcionan nuestros rivales. Pero después hay otros que dependen exclusivamente del juego como son por ejemplo el número de jugadores.  A más jugadores hay en una mesa, más probable es que alguno de ellos tenga una mano mas fuerte que la nuestra, al enfrentarnos a más jugadores en promedio por ronda. Por eso debemos adaptar nuestro juego con un rango más exclusivo, y a reducir también el rango que estimamos de nuestros rivales, pues es menos probable ganar con una misma mano cuando existen más manos posibles mejores.

3.Posición

Como vemos hay una gran cantidad de factores, pero no todos tienen la misma importancia.

Uno de los factores considerados más importantes en Póker es la posición, ya que esta se puede utilizar para obtener información extra de tus oponentes, o también para mentir. Si juegas en una posición temprana, no tienes información sobre lo que van a hacer tus rivales, y al no poder descartar ningún jugador estás obligado a jugar un rango más corto de manos. En cambio si juegas en una posición tardía, obtienes información de las apuestas que hacen o de los jugadores que se retiran, por lo que tienes cierta información que puede proporcionarte ventaja y más posibilidades de ganar. Eso hace que cada jugador adopte un juego y un rango diferente dependiendo de su posición y eso lógicamente ofrece resultados diferentes. Pero ¿cuánto de diferentes? Pues bien, se han analizado a 9 jugadores en más de 1000 manos para ver que posición tiene más ventaja, y esto es lo que se ha observado:

Como ya habíamos deducido las últimas posiciones suelen ser las que mas ganancia nos ofrecen, pero curiosamente y en contra de lo que había dicho, las primera posición también tiene un porcentaje bastante alto de victorias. Esto se explica porque muchos jugadores utilizan posiciones tempranas para apostar o subir como si tuvieran una mano fuerte, la tengan o no.

Si hacemos un resumen, vemos efectivamente que una posición tardía es la que más te beneficia, pero la temprana también puede servir para marcarte un buen farol.

Jugar bien al Póker no parece algo sencillo, Hay que se suficientemente bueno para superar las pérdidas del juego e incluso las pérdidas por comisiones. Y con todos estos factores nuestras decisiones dependen de muchas cosas. Entonces, ¿existe alguna fórmula matemática para poder decidir que acción tomamos?

4.Poker EV

Pese a que la posición es un factor muy importante, su influencia disminuye a medida que van quedando menos jugadores, ya que al reducir el número de rivales podemos consecuentemente robar menos fichas. Por lo que cuando quedan solo 2 jugadores en la mesa, que suele ser lo más habitual, la posición deja de ser un factor a tener en cuenta y podemos establecer un método matemático para saber que decisión debemos tomar, básandonos únicamente en el tamaño del bote, el tamaño de las apuestas y nuestras probabilidades.

Para eso se define un nuevo concepto llamado EV que viene de (Expected value o valor esperado) y se basa en el concepto de ganancia a largo plazo. Para saber si una jugada te conviene o no, lo mas inteligente es calcular que ganancia promedio obtendríamos si repitiéramos muchas veces esa misma jugada. Y eso es precisamente lo que calcula el EV, restando la probabilidad de ganar por el beneficio menos la probabilidad de perder por la pérdida. De esta manera puedes saber que rentabilidad tiene por ejemplo igualar una apuesta.

4.1.EV de Call

Cuando el EV es negativo igualar o hacer call no es rentable, pero si es positivo, si es a priori rentable a largo plazo al ser superior al EV de foldear, que es 0. Fíjate que también es posible tener un EV positivo aunque tengas más probabilidad de perder, si el beneficio compensa el riesgo. Ya que puede ser más rentable ganar pocas veces con mucho dinero, que muchas veces con poco dinero. Esto contesta a la pregunta de porque puede ser conveniente apostar con una probabilidad pequeña. He incluido esta calculadora de EV de call por si te interesa calcular el valor esperado de tu posible call.

IR A LA CALCULADORA DE EV

Para calcular el EV mentalmente puedes utilizar las conocidas pot odds, que no son más que la proporción entre lo que ganamos frente a la apuesta que tenemos que hacer, y que se comparan con las odds (que son las veces que perdemos por cada vez que ganamos), Como ambas se calculan con la misma proporción, solo tienes que comparar odds y pot odds para saber si es rentable ir o no a una subida, por lo que esta es una manera práctica de calcular el EV para el juego en vivo.

4.2.EV de All-In

Para saber en cambio si hacer un all-in es rentable, la cosa cambia, ya que es importante tener en cuenta la respuesta de nuestro rival, que puede ser ir o foldear en base a la cantidad que apostemos, por lo que el EV en este caso también incluye la probabilidad estimada de que suceda una acción o la otra, y se puede calcular de esta manera.

Que es básicamente la EV de foldear más la EV de hacer call

Existen bastantes fórmulas para determinar nuestras acciones, como por ejemplo la apuesta mínima que tienes que hacer para quitarle las odds necesarias al rival para perseguir su proyecto y otras muchas que podéis buscar por internet:

AM = (Outs x P)/(50 – 2 x Outs)

5.Otros factores

La verdad es que aunque estas fórmulas son útiles, hay otros factores que también pueden influir a la hora de tomar una decisión:

-Uno de ellos es el coste de confrontación. Si tienes una jugada rentable pero pocas fichas y no tienes la posibilidad de recompra o simplemente juegas a corto plazo, puede no ser inteligente igualar o hacer all-in si el hecho hacerlo puede tener un coste de confrontación de perder todas o una gran cantidad fichas, en comparación al de no enfrentarte (especialmente cuando nuestra probabilidad de ganar es baja), por lo que en en modalidades como la de torneo, también es importante evaluar nuestras decisiones en base a las fichas que tenemos y las de nuestros rivales. Un modelo matemático que tiene en cuenta esto es el modelo ICM, que se usa especialmente para la fases burbuja de torneos.

-Otro factor considerado el más importante para cambiar esas decisiones es el conocimiento de tus rivales, que puede servir para adaptar y explotar su metajuego lo máximo posible, aumentando o disminuyendo el tamaño de apuesta, la cantidad que tenemos que pagar a ciertos rivales, o simplemente para evitar o incentivar ciertos enfrentamientos, que nos pueden dan ventaja.

No parece fácil decidir con tantas cosas, por lo que la experiencia también juega un papel fundamental para ser un buen jugador, aunque ¿realmente somos capaces de aprender todas las situaciones de Póker?

6.Estrategia Preflop (Heads Up)

Solo en el Texas Holdem para 2 jugadores existen 10^161 decisiones diferentes posibles, lo cual es más que todos los átomos que forman el universo. Esto hace que sea imposible para un humano aprender cual es la decisión más ventajosa para toda esa inmensidad de situaciones. Aunque como seguramente has pensado, si existen programas donde puedes consultar cómo actuar ante la mayoría de casuísticas posibles para mejorar tu estrategia. Estos procesan millones de manos en base a explotarse a si mismos, y nos ofrecen las acciones más rentables a nivel estadístico, que puedes utilizar para adaptar a tu juego y explotar a tus rivales, por lo que hoy en día para ser un buen jugador también es importante saber interpretar correctamente datos estadísticos.

DESCARGAR PROGRAMA DE CONSULTA ESTADÍSTICA

Una de las decisiones mas importantes que debemos tomar en el Póker, es como jugar nuestra mano en el preflop o heads up, ya que eso nos condiciona mucho durante las siguientes rondas de apuestas, por eso es importante tener una estrategia previa bien definida que puedas consultar. Por eso he incluido una serie de tablas basadas en el estudio de estos programas hechas por un jugador profesional (Zeros) y que podrían ser de ayuda si las tienes a mano durante el juego. En ellas tienes el plan de acciones basado en la rentabilidad óptima para cualquier situación concreta en el preflop, que puede ser muy útil para Póker online, por lo que si te interesa, tienes un enlace en la descripción, junto con el enlace a estos programas que he comentado por si deseas consultar otra situación. (Y no es que quiera que juegues a Póker pero si lo haces, hazlo bien).

DESCARGAR TABLA PREFLOP

Ahora que ya has visto que el Póker es un juego muy matemático, surge la pregunta más importante de todas, ¿es posible jugar al Póker de manera perfecta? Vamos a verlo:

7.Equilibrio de Nash

En 1951 un tal John Forbes Nash mas conocido como John Nash elaboró una tesis doctoral demostrando que cualquier juego con un número finito de estrategias mixtas tiene almenos un equilibrio de Nash. Este equilibrio se da cuando todos los jugadores han elegido de la mejor manera posible y ninguno de ellos puede mejorar su estrategia por mucho la cambie, siempre y cuando los demás mantengan la suya. Este equilibrio nos asegura que en un juego de suma 0 como el Póker, nunca perderemos a largo plazo.

¿Y esto cómo es posible?

La búsqueda de este equilibrio no es sencilla, pues debemos encontrar una combinación óptima que satisfaga a todos los jugadores de entre muchas posibles, lo cual sumado a la cantidad de decisiones que puede haber lo convierte en todo un reto computacional. Encontrar un equilibrio en el heads up es menos difícil pero en el River es mucho más complicado. (Para entender esto, intenta imaginar todas las situaciones que pueden darse en esta fase del juego)

Al haber tanta casuística posible, es demasiado costoso computar una estrategia para cada mano o tamaño de apuesta, por lo que los científicos han optado por abstraer el juego completo a una versión mas simplificada en cuanto a valores y tamaños de apuesta, que permite la búsqueda de un equilibrio de manera más eficiente, y que aproxima de una manera muy precisa al juego completo mediante un conjunto de algoritmos. Utilizando inteligentemente el cálculo de este equilibrio, han construido una Inteligencia artificial que juega al póker para dos jugadores de una manera prácticamente perfecta.

En 2017 el software Libratus consiguió vencer por primera vez a los mejores jugadores profesionales de Póker del mundo con una ventaja estadística significativa, lo cual es un hecho histórico para juegos de información incompleta. Y todo ello gracias a las matemáticas.

Por suerte o por desgracia el equilibrio de Nash solo es posible para 2 jugadores, dado que si es posible perder en expectativa a largo plazo en Póker de 3 jugadores o más, especialmente si un grupo de ellos se compenetra para eliminar a otro. Y es que aunque se calcule un equilibrio para los tres jugadores, esa combinación no tiene porqué ser un equilibrio de Nash en sí mismo. En consecuencia si juegas Póker online con más de dos personas, no debes preocuparte de momento, porque su futuro está asegurado, aunque, ¿quién sabe hasta cuando?

The post Las Matemáticas del Póker – Rango, Posición y EV first appeared on Math4all.

¿Crees que las matemáticas son importantes en el Póker?. En este artículo analizaré el Poker a nivel matemático para que sepas como calcular tus probabilidades, analizar tus acciones, o como las matemáticas pueden convertirte en un mejor jugador.

1.Reglas del Póker Texas Holdem
2.Manos del Póker Texas Holdem
3.Acciones de Póker Texas Holdem
4.Probabilidades de Póker Texas Holdem
5.Póker como juego de información incompleta e imperfecta
6.Odds y Outs
7.Calculadora de Póker Texas Holdem

1.Reglas del Póker Texas Holdem

El poker Texas hold’em sin límites es un juego de baraja francesa de hasta 23 jugadores simultáneos, donde el objetivo es eliminar a todos los jugadores de la mesa, para ganar todas sus fichas, o simplemente ganar el máximo dinero posible en la modalidad de cash. Para esto se reparten 2 cartas no visibles a cada jugador, y estos decidirán por turnos y en base a sus cartas, si quieren apostar, pasar, retirarse, igualar o subir la apuesta.

Una vez que todos los jugadores han tomado una decisión, el dealer o repartidor saca 3 cartas visibles de flop, que son utilizadas por cada jugador para ligar sus cartas con el objetivo de conseguir la mejor mano posible, y se procede a una nueva ronda de apuestas. 

A medida que el repartidor destapa una nueva carta, se repite el mismo procedimiento hasta tener finalmente 5 cartas destapadas. Por último, los jugadores que todavía quedan en la mesa enseñan sus cartas y se da como ganador del bote o pot al jugador que tiene la mejor mano. Los jugadores deberán así usar sus conocimientos y su estrategia, para tomar las mejores decisiones que les permitan ganar.

2.Manos de Póker Texas Holdem

• Pareja: En primer lugar, tenemos la pareja, que es la mano mas básica del poker formada por 2 cartas de palos diferentes que tienen el mismo valor. Si ambos jugadores tienen una pareja, gana la que tenga el valor mas alto, y si ese valor es el mismo, gana el jugador que tenga la carta mas alta. La pareja es la mano menos valiosa que se puede ligar.

• Doble pareja: La doble pareja se compone de 2 parejas distintas junto a otra carta cualquiera. Si ambos jugadores tienen doble pareja, gana la mano con la pareja mas alta, y en caso de empate la carta no emparejada con el valor mas alto, es la que decide.

• Trio: Como su propio nombre indica, el trio son 3 cartas de diferente palo con el mismo valor, junto con 2 cartas cualquiesquiera. En caso de que ambos jugadores tengan un trio, ganará el que tenga el valor más alto. Fijaros que en esta modalidad de Poker no puede existir 2 trios de un mismo valor, ya que solo hay 4 palos posibles y con uno ya se reúnen 3.

• Escalera: La escalera se compone de 5 cartas consecutivas del mismo palo o de palos diferentes, por lo que pueden ordenarse todos los valores de uno en uno de menor a mayor. Dependiendo del número con el que empiece la escalera tendremos una escalera mas alta o mas baja, por lo que en caso de empate ganará siempre la que tenga valores mas altos.

• Color: Son 5 cartas del mismo palo sin importar su valor, Hay que matizar que en poker cuando hablamos de color, nos referimos al mismo palo, y no al mismo color. En caso de empate gana el color que tenga la carta más alta.

• Full/Full house: Reúne 3 cartas de un mismo valor y 2 cartas de otro, o lo que es lo mismo un trio y una pareja simultáneos. Cuando dos jugadores tengan un full, ganará el valor del trio mas alto.

• Póker: Es es la jugada que da nombre al juego y se compone de cuarteto formado por 4 cartas de palos diferentes que tienen el mismo valor, junto a una carta cualquiera. En caso de empate el valor de esa carta decide el ganador. Aunque esta sea la mano más popular, no es la más valiosa.

• Escalera de color: Como su propio nombre indica es una escalera compuesta por todas las cartas bajas de un mismo palo, lo cual la convierte en una jugada bastante improbable. Cuando dos jugadores tienen escalera de color ganará la escalera que tenga los valores más altos.

• Escalera real/Flor imperial: Es la mejor jugada del poker y está compuesta por todas las cartas altas de un mismo palo que son 10,J,Q,K y As. En caso de haber 2 manos simultáneas como esta, ninguno de los los jugadores ganaría, aunque si lo pensáis es casi imposible que se den 2 escaleras reales simultáneas.

• Todas las jugadas que habéis visto están ordenadas por ranking de menos a más, por lo que ya sabéis también quien ganaría cuando se enfrentan dos manos diferentes. En el caso de que ningún jugador consiga formar ninguna de estas manos, gana simplemente el que tiene la carta más alta, y en caso hipotético de tener la misma, gana el que tiene el que tiene la siguiente carta más alta.

3.Acciones de Póker Texas Holdem

Ahora que ya has visto todas las jugadas y su /jerarquía prioridad, vamos a repasar que acciones puedes tomar dentro la ronda de apuestas, así que no te lo pierdas!

• Apostar: Las apuestas se hacen por turnos en el sentido horario de las agujas del reloj, y los jugadores que apuestan después, deben igualar la cantidad (call) apostada como mínimo para mantenerse en la mano. Pero también puedes subir la apuesta (raise) si quieres obligar a los otros jugadores a mantenerse en la mano, y si lo haces estos deberán igualar de nuevo la cantidad hasta igualar esa subida. (Es como un tira y afloja).

• Apostar All-in: Cuando el jugador apuesta en una mano todas sus fichas, se dice que va all-in, y (si otro jugador apuesta una cantidad mas grande),  se crea un bote separado en el que el jugador no está. Si mas de un jugador hace all in en la misma mano se acumulan distintos botes. Para ir all se necesitas tener un buen presentimiento ya que te arriesgas a perder todas tus fichas.

• Apostar ciegas: En la modalidad hold’em hay dos jugadores obligados a apostar una cantidad mínima a principio de cada ronda, que son las ciegas. Estas van cambiando de jugador en cada mano, con el objetivo de que todos tengan pérdidas equitativas/la mismas pérdidas al final. La ciega grande es equivalente a la apuesta mínima de esa ronda y la ciega pequeña normalmente es la mitad de la grande, pero esto puede cambiar. Estas ciegas se asignan consecutivamente a la izquierda del dealer, primero la pequeña y después la grande, y tienen como objetivo forzar a los jugadores que quieren entrar en la mano con una cantidad mínima. En los torneos las ciegas va aumentando de cantidad para acelerar la velocidad de las partidas.

• Pasar (check): Cuando ningún jugador ha realizado ninguna apuesta en esa ronda o ya se ha igualado la cantidad apostada, puedes optar por pasar o “hacer check” (en inglés), si consideras que no es necesario abrir o subir la apuesta con tus cartas. Esto te permite seguir en la mano, sin realizar ninguna apuesta extra.

• Retirarse: El jugador siempre tiene la opción de retirarse si considera que no tiene opciones en esa mano, y perderá sus cartas y la cantidad que tenía apostada hasta ese momento, sin posibilidad de volver a entrar.

Ya has visto que acciones puedes tomar, y que manos hay, pero que posibilidades crees que tienes de ligar alguna? Piensas que es fácil conseguir una escalera o un Póker?

4.Probabilidades de Póker Texas Holdem

Vamos a calcular las probabilidades de ligar un Póker. Para ligar esta jugada necesitas 4 cartas del mismo valor de entre 5 cartas que se reparten. Esto es: Las maneras que tienes de obtener 4 cartas iguales (con 1 valor posible de 13 y 4 palos posibles de 4) por las maneras de obtener otra carta que no sea de ese valor,  (con 1 valor posible de los 12 restantes que quedan, y lógicamente 1 palo de 4). Lo que en realidad calcula para ambas, son las maneras de seleccionar los valores por las maneras de seleccionar los palos.

Esto nos da exactamente  624 maneras totales posibles de hacer Póker de entre todas combinaciones que puedes hacer, pero cuantas són?

Si tenemos en cuenta que una baraja francesa tiene 52 cartas y debes seleccionar 5 cartas, el número total de posibilidades son todas las combinaciones posibles de 52 elementos cogidos de 5 en 5 ya que si lo piensas detenidamente (y no como en este video) no importa el orden y no se pueden repetir. (pero esto mejor lo pensáis vosotros)

Este cálculo nos indica que la probabilidad de ligar un Póker antes de destapar ninguna carta es aproximadamente de un 0,02%, lo cual significa que tienes muy pocas posibilidades a priori de ligarlo al ser una mano muy poco probable. Pero cual crees que son las probabilidades de las otras manos?

Como ves las manos importantes como el Póker o el Full, son las más difíciles de conseguir, y viceversa, las manos menos importantes son mucho más fáciles y probables, lo cual tiene lógica. Fíjate también que la única jugada a la que puedes aspirar frecuentemente es una pareja, ya que jugadas como el trio, el color o incluso la doble pareja son bastante complicadas de conseguir.

Lo más importante, es que ninguna jugada llega al 50%, y tan siquiera la suma de todas consigue el 50%, lo que significa que la mayoría de veces no vas a ligar nada, aunque esto te da algunas pistas de como abordar el juego. Era esto lo que os imaginabas?

Ya has visto que conseguir una buena mano no es nada fácil, entonces lo que tendrás normalmente serán cartas que pueden conformar una mano con las cartas que quedan por destapar, o lo que es lo mismo un proyecto de mano, Este podrá completarse o no con cierta probabilidad. Pero como se calcula?

5.Póker como juego de información incompleta e imperfecta

Si alguna vez has visto un torneo de Póker en televisión, recordarás seguramente un porcentaje que se muestra al lado de las cartas de cada jugador. Esto no es más que la probabilidad que tiene cada uno de ganar y se basa tanto en sus cartas como en las del resto de jugadores, incluyendo las cartas comunitarias. Si lo pensamos bien, este cálculo solo es posible porque la televisión conoce las cartas de todos y cada uno de ellos, por lo que solo nosotros podemos ver qué probabilidades reales tienen y quien está jugando mejor.

Si los jugadores pudiesen conocer la mano de sus rivales, no tendrían dificultad alguna para jugar al poder calcular estas probabilidades de manera exacta, pero lamentablemente esto no es posible, porque no conocemos que cartas tienen, por eso se considera al Póker un juego de información incompleta e imperfecta. En consecuencia los jugadores tienen que intentar recoger toda la información posible, para calcular algo que se aproxime lo máximo posible a esas probabilidades.

6.Odds y Outs

Para esto debemos introducir dos conceptos matemáticos que se utilizan en el mundo del Póker que son las odds y las outs, y que sirven para calcular las probabilidades de completar un proyecto o proyectos.

Imagina que tienes un proyecto de color en el turn y quieres calcular las probabilidades de poder completarlo en la última ronda de apuestas.

Para conseguir tu proyecto con la siguiente carta necesitas una que sea del mismo palo. Como un palo tiene 13 cartas y ya han salido 4 de ellas, tan solo quedan 9 cartas de la baraja que te servirían para completar tu color, y esto da un total de 9 outs.

Si queremos calcular las probabilidades para esas 9 outs, lo que haremos será calcular las odds, que es la probabilidad que se utiliza en el Póker y que a diferencia de la habitual, donde se calculan casos favorables entre posibles, aquí se calculan los desfavorables entre los favorables. Y porque así? Porque normalmente tenemos mas probabilidades de no ligar nuestro proyecto que de ligarlo, pero esto lo verás más adelante.

Los casos favorables son precisamente las outs y los desfavorables son todos los casos posibles menos los favorables (es decir todos menos las outs). Por último los posibles son la cantidad de cartas que quedan por mostrarse, que calculamos restando a las 52 cartas totales de la baraja, las que ya han sido destapadas incluyendo también las de los rivales. Si haces el cálculo para tus 9 outs, obtendrás unas odds de 4,11, o dicho de otra manera, por cada vez que ganes perderás 4,11 veces, lo que equivale a un 19,57% de probabilidades de ligar el color con la última carta por destapar. ¿Que te parece?

Calcular todo esto no es algo muy práctico, por eso he creado una tabla, donde puedes consultar que probabilidades tienes con las outs de tu proyecto o proyectos.

Si echas un vistazo puedes ver la tabla se compone básicamente de 3 columnas, que son las probabilidades que se pueden calcular en las etapas de flop y turn ordenadas de izquierda a derecha, donde nos interesan principalmente la primera y la última.

Si queremos queremos consultar nuestro proyecto de color con 9 outs en el turn vemos el mismo 4,11 que habíamos calculado por nuestra cuenta.

DESCARGAR TABLA POKER ODDS OUTS

Con estas tablas puedes observar cosas interesantes, como que un proyecto de color tiene mas probabilidades que cualquiera de escalera, o que un proyecto de escalera tiene mas probabilidades si puede completarse por dos puntas en lugar de una.

Fíjate también que cualquier proyecto que incluya 2 jugadas simultáneas (como un proyecto de escalera y color al mismo tiempo) siempre va ser más probable que cualquiera de esos dos proyectos por separado. Ya que al poder ser completado de cualquiera de las dos maneras, acepta un número mayor de outs. Curioso verdad?

Otro detalle importante es que casi nunca tendrás más de un 50% de probabilidades, lo cual indica como dije antes que la mayoría de veces no vas a ligar tu proyecto. (Aunque no tires la toalla todavía)

A nivel práctico, puedes calcular todo esto, sin necesidad de tablas, con la regla del 4 y la regla del 2 (multiplicando por 4 en el flop a turn y river y por 2 en el turn). Estas reglas proporcionan un valor bastante cercano y pueden ser útiles cuando no dispongamos de nada a mano. Si las usas para tu proyecto de color, tienes que para tus 9 outs en el turn son (9 x 2 = 18%) lo que se acerca bastante al 19,57% que marca la tabla. Esto puede ser suficiente para muchos jugadores, aunque hay otras reglas parecidas para aproximar estos valores. También existen distintas variantes de odds por si te interesa el tema.

Después de ver todo esto podrías hacerte las siguientes preguntas:

• Si normalmente tenemos una probabilidad pequeña, ¿qué sentido tiene apostar?, ¿no deberíamos de hacerlo solo cuando tenemos una mayoría de posibilidades?

• Aunque estemos calculando las odds para nuestro proyecto, ¿no puede el rival ganarnos con un proyecto superior? O dicho de otra manera ¿cuánta diferencia hay entre calcular nuestras odds y las probabilidades reales?

7.Calculadora de Póker Texas Holdem

Para resolver tus dudas he creado una Calculadora de Póker donde vamos a experimentar un poco con todos estos conceptos.

Con ella puedes ver que una simple pareja de 77’s tiene más probabilidades frente a un as, k, o que un un proyecto de escalera y color tiene más probabilidades que una flamante pareja de reyes en el flop.

También puedes ver que una pareja con valores bajos como 66 tampoco es tan buena mano, ya que puede ser superada fácilmente por cualquier pareja más alta. Puedes consultar cualquier jugada que necesites.

IR A LA CALCULADORA DE POKER

Ahora vamos a crear con nuestra calculadora de Póker tu proyecto de color. Y vamos a suponer que tu rival aspira a un proyecto inferior con una pareja ligada de J’s. Apretamos el botón para calcular el resultado y vemos que tus probabilidades de ganar contra sus cartas son del 20% lo cual es bastante parecido a lo que habíamos calculado.

Puede parecer que las odds son suficientes para conocer a ciencia cierta nuestras probabilidades. Pero imagina que las cartas permitieran a tu rival tener proyecto superior como Póker o Full. Si calculamos de nuevo tus probabilidades para esta posible situación, vemos que el cálculo ya no se ajusta a las odds. Esto ocurre porque antes, tu probabilidad de ganar dependía únicamente de que ligáses o no tu proyecto, pero ahora también también dependes de que el rival consiga o no un proyecto superior, lo cual disminuye tus opciones al poder ser superado con una mano mejor que el color.

La cosa se va poniendo interesante…

Fíjate que el detalle más importante es que aunque el cálculo es diferente, no es una diferencia demasiado grande, porque sigue siendo más difícil ligar un Full o Póker que un color. Lo que te indica que a más fuerte sea tu proyecto de mano, mas fiables serán tus odds en promedio, ya que será más difícil que exista otro proyecto que pueda modificarlas. Depender más de nosotros mismos nos aporta una información más completa, y debemos aprovecharla.

Pero en la práctica es fácil que tus oponentes puedan tener cartas mejores que tú, especialmente cuando hay muchos jugadores en la mesa o se hacen grandes apuestas, por eso debes tener también siempre presentes los posibles proyectos o manos que tus rivales pueden tener con las cartas comunitarias, sobretodo cuando se apueste una gran cantidad de dinero.

Cuando tu mano ligada sea superior a todas esas posibles, tu victoria estará asegurada, pero cuando tengas únicamente un proyecto y tampoco pueda haber manos superiores con las cartas que quedan por destapar, tus probabilidades reales serán como mínimo tus odds (probabilidad calculada).

The post Las Matemáticas del Póker – Odds y outs first appeared on Math4all.

Bienvenidos a uno de los problemas mas curiosos de las matemáticas, el problema de Monty Hall.

1.Descripción del problema
2.Análisis intuitivo
3.Simulador de Monty Hall
4.Análisis matemático
 4.1.Análisis matemático con probabilidad condicional
5.Solución intuitiva
6.Explicación
7.Conclusiones

1.Descripción del problema

Imaginad que estáis en un concurso y que yo soy el presentador

Detrás de una de estas 3 puertas hay un coche nuevo. Y detrás de las otras dos hay cabras (si cabras!!).

Tenéis que elegir una puerta y vamos a suponer que para ejemplo que elegís la puerta 1 (recordad que tenéis que ganar el coche nuevo y no una cabra…)

Yo que puedo ver lo que hay detrás de cada puerta descarto una de las puertas que tiene una cabra, abriendo la número 3 en este caso, y ahora os hago la siguiente pregunta, ¿quieres cambiar la puerta 1 por la 2?, o lo mas importante para el objetivo de este video, ¿crees que eso importa?

El problema de Monty Hall es uno de los problemas más famosos de probabilidad y viene del concurso televisivo de los 70 Let’s Make a Deal. El nombre hace referencia a su famoso presentador, y a su conocido juego de las 3 puertas. Donde se escondía un coche entre una de ellas, y el concursante debía elegir una puerta. Tras descartar otra de las puertas, Monty Hall preguntaba al concursante si quería cambiar de puerta o quedarse la que había elegido. Y es aquí donde empieza el verdadero juego.

2.Análisis intuitivo

Estoy seguro que muchos de vosotros pensáis que no existe diferencia entre quedaros la puerta o cambiarla. Si quedan dos puertas y un coche, cualquiera de las dos opciones es lo mismo ya que si cambiáis la puerta podéis ganar o perder el coche y si no la cambiáis también podéis ganar o perder, lo cual deja a cada puerta con un 50% de probabilidad. Pero, es eso cierto?

Vuestra intuición puede deciros que si, pero creéis que vuestra intuición ha analizado el problema correctamente, ¿crees que puedes confiar en tu instinto?

3.Simulador Monty Hall

Para salir de dudas he creado un simulador que recrea las reglas de este juego y vamos a ver que resultados nos ofrece para ambas elecciones, así que, no os lo perdáis:

Este hace exactamente lo que hemos descrito, así vamos empezamos a jugar y nos pide elegir una puerta, la elegimos y el presentador nos abre otra puerta donde no está el coche. Después nos hace elegir entre cambiar de puerta o quedárnosla.

Quedándonos siempre la puerta:

Vamos a probar primero quedarnos la puerta que hemos elegido, así que jugamos muchas partidas al simulador, y llegamos a la conclusión de que ganamos el coche aproximadamente un 30% de las veces que hemos jugado (que nos muestra el porcentaje de éxito).

Cambiando siempre la puerta:

Si en cambio elegimos cambiar nuestra puerta por la otra, y repetimos esto muchas veces en el simulador, llegamos a la conclusión de que esta vez ganamos el coche aproximadamente un 60% de las veces. Lo cual hace que ambos resultados sean muy diferentes.

¿No te lo crees? Pruébalo tu mismo

JUGAR A MONTY HALL

Pensábamos que daría igual, pero hemos visto que cambiar de puerta nos hace ganadores en un porcentaje superior que quedarnos la puerta que teníamos, y parece ser bastante superior. Entonces ¿qué está pasando?

4.Análisis Matemático

Si analizamos el problema a nivel matemático nos daremos cuenta que esto es un problema simple de probabilidad, donde todos los posibles resultados del experimento de elegir una puerta son 3:

elegir coche, elegir una cabra, o elegir la otra cabra.

Los sucesos que necesitamos para resolver el problema son:

G: “Ganar el coche sin cambiar de puerta”

G’: “Ganar el coche cambiando de puerta”

Vamos a estudiar la probabilidad de cada suceso por separado:

Sin cambiar de Puerta

Así que vamos a empezar por no cambiar de puerta.

Si el concursante elige el coche, y no cambia la puerta, ganará el coche seguro, porque aguantará su puerta hasta el final.

De la misma manera si el concursante elige una cabra, y no cambia la puerta, nunca podrá ganar el coche.

Como hay 1 solo caso donde gana de 3 elecciones posibles, la probabilidad de ganar el coche si no cambia de puerta es de 1/3. Lo cual es aproximadamente un 33,33% de posibilidades de ganar. Eso es 1 de cada 3 veces, lo que os deja en desventaja para poder ganar el coche.

Vamos a ver ahora cual es la probabilidad si decide cambiar de puerta:

Cambiando de Puerta

Si el concursante elige el coche, y cambia la puerta, ya nunca podrá ganarlo ya que siempre lo cambiará por una cabra. No parece un buen comienzo.

En cambio fijaros que si elige una cabra, el presentador siempre le enseña la otra cabra. Esto descarta automáticamente una de las cabras, lo que implica que el concursante va a cambiar obligatoriamente la cabra que tiene por el coche. Como hay 2 cabras como posibles elecciones ganaremos el coche dos de cada 3 veces por lo que la probabilidad de ganar el coche cambiando de puertas de 2/3. Lo cual duplica las probabilidades de un 33,33 a un 66,66%. Esto nos da una mayor ventaja de ganar el coche.

4.1.Análisis Matemático con Probabilidad Condicional

Los sucesos que necesitamos para resolver el problema son:

A: El concursante elija la puerta donde está el coche”

B: “El concursante elija la puerta donde hay una cabra”

Y por último el suceso que estamos buscando que es:

G: “Que el concursante gane el coche”

La probabilidad de elegir la puerta con el coche como véis es 1 entre 3, y la de elegir la puerta con una cabra es 2/3 , pero, ¿cual es la probabilidad de ganar?

P(A)=1/3

P(B)=2/3

P(G)=?

Para ganar podemos hacerlo de cualquiera de las dos maneras. Elegir el coche y ganar o elegir una cabra y ganar, por tanto

P(G)= P((A y G) ó (B y G))

Lo que traducido al lenguaje matemático sería:

P(G)=P((A∩G) ∪ (B∩G))      (Simplemente tenéis que cambiar los símbolos de y por intersección y la o por unión)

Pues bien la probabilidad de una unión es la suma de probabilidades por lo que podemos separar la probabilidad en 2 más sencillas

P(G)=P(A∩G) + P(B∩G)

Si utilizamos la fórmula de la probabilidad condicionada y despejamos la intersección nos queda:

P(G)=P(G|A)·P(A) + P(G|B)·P(B)

Ahora solo tenemos que calcular la probabilidad de ganar para cada estrategia:

Probabilidad sin cambiar de Puerta

Si hemos decidido quedarnos con la puerta que teníamos:

En el caso de tener un coche, habremos ganado seguro, ya que no lo vamos a cambiar, por lo que la probabilidad condicionada a ese suceso A, será del 100% o 1

P(G|A)=1

Pero esto solo sucederá cuando tengamos un coche y tenemos 1/3 de probabilidades de elegirlo, por lo que la probabilidad de elegir el coche y ganar es de 1·1/3 que es 1/3

P(A)=1/3

P(A∩G)=P(G|A)·P(A)=1·1/3=1/3

En el caso de tener una cabra, si nos quedamos la puerta nunca vamos a ganar por lo que la probabilidad condicionada al suceso será 0, y al multiplicarlo por las probabilidades de tener una cabra sigue siendo 0, lo cual es lógico si ya vemos que es imposible elegir la cabra y ganar el coche desde el principio.

P(G|B)=0

P(B)=2/3

P(B∩G)=P(G|B)·P(B)=0·2/3=0

Si sumamos ambas cantidades tenemos que la probabilidad de ganar si nos quedamos la puerta es de 1/3.

P(G)=P(A∩G) + P(B∩G)=1/3 + 0=1/3

Esto podemos resumirlo como (Coche,Cabra,Cabra)

Probabilidad cambiando de Puerta

Vamos ahora a elegir cambiar de puerta siempre:

En el caso de tener un coche, perdemos el coche seguro, ya que lo vamos a cambiar por una cabra, por lo que la probabilidad condicionada a ese suceso A, será 0

P(G|A)=0

Y la probabilidad de coger el coche y ganar será 0.

P(A)=1/3

P(A∩G)=P(G|A)·P(A)=0·1/3=0

Si en cambio elegimos una cabra, fijaros que el presentador siempre nos elimina la otra cabra, por lo que solo quedará el coche cuando cambiemos de puerta, por lo que ganaremos siempre el coche.

P(G|B)=1

Esto sucederá solamente cuando tengamos una cabra, pero hay que tener en cuenta que la probabilidad de elegir una cabra es 2/3, por lo que la probabilidad de tener una cabra y ganar es de 1·2/3 que es 2/3

P(B)=2/3

P(B∩G)=P(G|B)·P(B)=1·2/3=2/3

Si sumamos ambas cantidades tenemos que la probabilidad de ganar si cambiamos de puerta es de 2/3

P(G)=P(A∩G) + P(B∩G)=0 + 2/3=2/3

Esto podemos resumirlo como (Cabra,Coche,Coche)

5.Solución intuitiva

Si no cambiamos de puerta vemos claro que al haber dos cabras y un coche tenemos 1/3 de posibilidades de ganar el coche.

Si cambiamos de puerta:

• y elegimos el coche siempre perdemos.
• y elegimos una cabra siempre ganamos.

Pero como hay 1 coche y 2 cabras, ganaremos en 2 ocasiones de 3, porque 2 de cada 3 veces elegiremos una cabra.

6.Explicación

Para esto vamos a imaginar de nuevo todos los posibles casos que pueden darse para las 3 puertas. (Fijaros que no diferenciamos el orden de las cabras, ya que eso duplica el numero de casos, pero no cambia la probabilidad)

Cuando elegimos nuestra puerta, tenemos 1/3 de probabilidades de tener el coche. Aunque el presentador abra una puerta, está condicionado por la que nosotros hemos elegido, ya que solo puede abrir una puerta que no sea la nuestra. Eso implica que siempre elimina una cabra de las otras dos puertas, pero nunca de la nuestra.

Fijaros además que en esas 2 puertas siempre hay una cabra para poder eliminar, por lo que el presentador solo descarta una cabra que era segura y nos enseña donde está, pero eso no aumenta las probabilidades de nuestra puerta, ya que nosotros podemos seguir teniendo la otra cabra las mismas veces veces. Esto implica que la puerta que elegimos al principio seguirá teniendo el coche 1 de cada 3 veces y no aumentará sus probabilidades, por mucho que quitemos una puerta.

Sorprendente, que no cambie, pero entonces ¿qué pasa con la otra puerta?

Si nuestra puerta tiene el coche 1 de cada 3 veces, las otras 2 veces estará en las otras dos puertas, por lo que ese grupo de 2 tiene lógicamente mas probabilidades de tener el coche que nuestra puerta. Simplemente tenemos que sumar la probabilidad de cada una.

Cuando el presentador abre una puerta, sabe lo que hay detrás de cada una, por lo que siempre salva el coche en caso de tenerlo. Si las dos puertas tienen el coche 2 de cada 3 veces y siempre descarta una cabra, la puerta que se salve seguirá teniendo el coche 2 de cada 3 veces, por lo que su probabilidad será la misma que tenían ambas puertas pero repartida en una. Por eso debéis cambiarla por esta.

Fijaros también que esta puerta no siempre será la misma y por eso tiene más probabilidad.

Y dicho esto, ¿estás seguro que no quieres cambiar de puerta?

Ampliación de la idea

Imaginaros ahora el mismo juego pero con 20 puertas en lugar de 3. Seguimos eligiendo 1 puerta, y el presentador elimina de la misma manera las puertas que son cabra hasta quedarse con una.

Si olvidamos por un momento nuestra puerta, y pensamos solamente en las 19 que puede eliminar el presentador. Veremos muy claro que 19 puertas tienen mucha más probabilidad que una, por lo que el coche estará la mayoría de veces en una de las puertas que tiene el presentador y solamente una en nuestra puerta. Y si este elimina todas las puertas que son cabra de ese grupo, la puerta que le quede tendrá el coche la mayoría de veces, de la misma manera.

7.Conclusiones

En conclusión el presentador solo elimina cabras de sus puertas, y eso solo puede darle ventaja a alguna sus puertas, pero nunca a la nuestra.

Como hemos visto al final tampoco era tan complicado, pero, ¿por qué no hemos sido capaces de verlo antes?

Al principio el coche puede estar por igual en cualquiera de las puertas, por eso dividimos 1 premio entre 3 puertas, y así calculamos la probabilidad para nuestra puerta. Hasta aquí es correcto.

El problema viene cuando nos abren una puerta.

Cuando el presentador nos da la opción de quedarnos con nuestra puerta o cambiarla, debemos calcular de nuevo la probabilidad de cada puerta para saber cual nos conviene más. Para esto dividimos de la misma manera que antes 1 premio entre 2 puertas, como si el premio pudiera estar por igual en cada una de ellas, pero esto no es así, ya que el descarte que hace el presentador, aumenta solo la probabilidad de una de las puertas y no de las dos por igual. Por eso el cálculo es incorrecto. (66%>33%)

Fijaros que la única manera de tener un 50% de probabilidades de ganar, es elegir cambiar de puerta o no al azar, ya que en este caso aunque una puerta sea mas probable, tenemos las mismas opciones de elegirla que la otra, por lo que las veces que cambiemos de puerta, compensará las veces que no lo hagamos. De todas maneras esto sigue siendo menos que cambiar siempre de puerta, aunque más que quedarnos siempre la puerta. (66%>50%>33%)

¿Curioso verdad?

Ahora sabemos que Monty Hall era un tipo muy astuto, al utilizar la psicología y las matemáticas. Si el concursante no cambiaba de puerta, tenía las de perder, y para tener ventaja tenía que arriesgarse y aceptar el cambio. 

La realidad es que la mayoría de concursantes perdían el coche, porque muy poca gente se arriesgaba a cambiar la puerta. Quien cambiaría una puerta cuando pueden engañarte con la pregunta?. Tan solo un loco, o un matemático, y es que el engaño es precisamente eso.

¿Quién dice que las matemáticas no sirven para nada?

Si te interesan las matemáticas del juego puedes visitar mi canal de youtube math for all en Youtube donde estudio matemáticamente juegos de azar como Póker o Blackjack.

The post El Problema de Monty Hall first appeared on Math4all.

¿Crees que se puede ganar en el Blackjack?. ¿Cual es la mejor manera de jugar? En este articulo resolvemos estas y otras cuestiones con la ayuda de las matemáticas.

1.Reglas del Blackjack
2.Acciones de Blackjack
3.Premios de Blackjack
4.Estudio matemático del Blackjack
 4.1.Probabilidades de pasarnos de 21
 4.2.Probabilidades de que el Crupier se pase de 21
 4.3.Ventaja Matemática de la Banca
5.Estrategia Básica
 5.1.Tabla Estrategia Básica 1 Mazo
 5.2.Tabla Estrategia Básica Varios Mazos
6.Conteo de Cartas
7.Conclusiones

1.Reglas del Blackjack

El Blackjack es un juego de baraja francesa de hasta 7 jugadores donde los jugadores se enfrentan a la banca.

El objetivo es sumar 21 con nuestras cartas o un valor superior al de la banca sin pasarnos del número.

Si superamos 21 o sumamos un valor mas bajo que el del crupier automáticamente perderemos nuestra apuesta.

Una vez realizadas las apuestas se reparten 2 cartas visibles a cada jugador y solamente una para la banca.

Los jugadores deberán decidir en base a sus cartas y a la del crupier si quieren pedir carta, plantarse, doblar su apuesta o dividir su mano en manos separadas.

Todas las cartas valen el valor numérico que tienen del 2 al 10, excepto las figuras que valen 10, y el as que puede valer 1 o 11 a nuestro interés.

Los pagos se hacen a la par y podemos sumar 21 con más de dos cartas, pero solamente se considerará blackjack cuando se haga con dos, y estará por encima de cualquier 21 sumado con más cartas.

La banca solo puede pedir carta o plantarse, y solamente pide carta cuando su mano está por debajo de 17, por lo que si llega o supera ese valor se planta automáticamente.

En caso de que el crupier se pase de 21 los jugadores que todavía están en la mesa ganarán sus apuestas y en caso de empate el jugador recuperará su apuesta.

Se puede jugar a blackjack con una o más barajas, siendo 6 barajas en el Blackjack Europeo.

El Blackjack Americano tiene algunas diferencias en sus reglas que le permiten modificar si el crupier pide carta o de que maneras pueden dividir la mano los jugadores. Además este se reparte una segunda carta tapada después de repartir a los jugadores y puede consultarla en caso de que su primera carta destapada le de la posibilidad de hacer blackjack (si efectivamente suman 21 los jugadores pierden su apuesta antes ni siquiera de jugar). Esto hace que se agilice el juego y también disminuye la ventaja de la casa.

2.Acciones de Blackjack

-Pedir Carta/Plantarse

En primer lugar podemos pedir carta mientras nuestra suma no supere 21. Dependiendo de las cartas nos convendrá pedir otra carta o plantarnos pero si superamos 21 con la carta pedida perderemos la apuesta.

-Doblar Apuesta

Para doblar nuestra apuesta necesitamos una mano que sume obligatoriamente 9, 10 u 11 y solo podrá hacerlo en el principio de turno. En caso de doblar tu apuesta solo podrás recibir una carta más.

A diferencia en el Blackjack Americano podremos doblar con cualquier mano.

-Separar Cartas

Si nuestras cartas tienen el mismo valor, podemos separar en dos manos diferentes cada carta para jugarlas de manera independiente. Para eso es obligatorio añadir además una apuesta igual a la inicial. Tenéis que saber que dentro de una mano separada aunque sumemos 21 con la siguiente carta no se considerará blackjack.

Después de separar, la mayoría de casinos permiten doblar a las nuevas manos resultantes y esto nos da cierta ventaja. (No permitirlo aumenta la ventaja de la casa en un 0,12%.)

-Apuesta de Seguro

Si la carta descubierta por el crupier es un as, podemos apostar a seguro si presentimos que la banca conseguirá blackjack con la siguiente carta. Si finalmente lo consigue seremos premiados.

-Rendirse

Rendirse solo es posible en el Blackjak americano y si el jugador se rinde perderá la mitad de la apuesta.

3.Premios de Blackjack

–1 a 1 (una ficha por cada ficha apostada) si ganamos a la banca.

–3 a 2 (tres fichas por cada dos fichas apostadas o 1 ficha y media por cada ficha apostada) si ganamos a la banca con Blackjack (siempre que no se produzca un empate). En el Blackjack Americano de las Vegas se paga con 6 a 5.

–2 a 1 (dos fichas por cada ficha apostada) si ganamos una apuesta a seguro.

El caso del Blackjack Americano, también es habitual que si el jugador tiene blackjack y el crupier tiene un As visible, se le ofrezca la posibilidad de cobrar el blackjack con un 2 a 1 (en lugar del 3 a 2 habitual) como alternativa a la apuesta de seguro.

4.Estudio matemático del Blackjack

Para analizar el blackjack a nivel matemático debemos saber que una baraja francesa tiene 52 cartas.

-4 de ellas son As.

-16 de ellas son 10 o Figura.

-Las 32 restantes son números del 2 al 9.

Por lo que podemos sacar algunas conclusiones:

-Aproximadamente una tercera parte de las cartas tienen el valor 10 (Lo cual toma un papel fundamental).

-Solo hay 4 cartas que son as, por lo que si queremos obtener un blackjack vamos a necesitar uno de ellos, pero cual es la probabilidad?

La probabilidad de obtener blackjack sería las maneras que tenemos de obtener 21 con dos cartas de entre todas las combinaciones posibles de sacar 2 cartas de la baraja.

O lo que es lo mismo casos favorables entre casos posibles.

para obtener 21 con dos cartas necesitamos un as y un 10 , y en la baraja existen 4 ases y 16 10’s (entre figuras y cartas de valor 10).

Por otra parte todas las combinaciones de sacar 2 cartas, son combinaciones de 52 elementos cogidos de 2 en 2 (donde no importa el orden y no se pueden repetir),

por lo que la probabilidad es:

4.16 / C52,2 que es igual a 64/1326 o lo que es lo mismo un 4,8% de probabilidad (lo cual era lógico ya que sabemos que para tener blackjack necesitamos siempre un as y tan solo hay 4 en la baraja)

-En caso de jugar con varias barajas se mantiene la misma proporción de cada figura o número, ya que es lo mismo 4 ases en 52 cartas que 8 en 104. Pero las probabilidades de obtener un resultado concreto varían ligeramente, ya que influye menos quitar una carta a una baraja de 104 cartas que a una 52. Por lo que cada juego con diferentes barajas tiene su propio estudio probabilístico.

4.1.Probabilidades de pasarnos de 21

Para calcular la probabilidad de pasarnos de 21, debemos calcular la probabilidad de pasarnos para cualquier mano, y para eso necesitamos ir mano por mano.

Imaginémos que nuestra mano por ejemplo suma 12:

Al pedir una carta más estos se nos plantean todos estos casos:

Como vemos a priori hay 4 casos de 13 donde superamos 21. Esto es aproximadamente una probabilidad del 30%, lo que significa que con un 12 solo en un 30% de las veces que pidamos carta nos pasaremos de 21.

El cálculo de esta probabilidad es una simplificación porque realmente tendríamos que tener en cuenta que las cartas que conforman el 12 varían ligeramente la probabilidad de la carta hemos pedido, pero la diferencia con este cálculo no es muy grande y además es mucho más complejo de estudiar y de entender)

Si calculamos lo mismo para todas las manos posibles (y de manera exacta) obtenemos la siguiente tabla:

Como véis a partir de 13 tanto nosotros como la banca nos pasaremos la mayoría de veces.

Fijaros también que si nuestra suma es 11 o menos nunca podremos superar 21 con una carta más por eso su probabilidad es 0

4.2.Probabilidades de que el Crupier se pase de 21

Como acabamos de ver, si no queremos perder la mayoría de veces debemos pedir carta, siempre y cuando nuestra mano sume menos de 14. La pregunta es, ¿poniéndonos un límite en 14 tenemos opciones de ganar?

Si tenemos en cuenta que la banca siempre pide carta hasta sumar 17 o más, plantarse con un valor menor a 17 solo te hace ganador cuando el crupier se pasa.

O dicho de otra manera, si el crupier no se pasa de 21, su mano siempre tendrá un valor igual o mayor a 17, por lo que los jugadores que se plantaron con una mano menor a 17 perderán su apuesta.

Pues bien según el estudio matemático realizado las probabilidades de que el crupier se pase en función de la carta que tiene (y a su estrategia) son las siguientes:

Para una carta alta la probabilidad de pasarse es bastante baja siendo el as la carta que mas ventajas le ofrece a la banca.

Para una carta baja la probabilidad es mas alta, pero fijaros que en ningún caso supera el 50%.

Si hacemos el promedio de todas llegamos a la conclusión de que el crupier se pasa en un 28.35% de las veces (368,67/13) lo que significa que en el 71.65% de las veces que te plantes con menos de 17 vas a perder tu apuesta.

Límite de la Banca

Como acabamos de ver es inútil ponerse un límite por debajo del de la banca, ya que perderemos en la mayoría de ocasiones.

Pero gracias a esto también hemos visto que la primera carta del crupier nos puede dar una información valiosa para tomar decisiones.

Las preguntas que nos surgen entonces son:

-¿Por qué el límite de la banca es 17?

-¿Qué pasa si copiamos esta estrategia y nos plantamos a partir de 17?

4.3.Ventaja Matemática de la Banca

Si os fijáis el crupier siempre espera que el jugador termine su jugada antes de proceder a jugar él. Esto significa que si el jugador se pasa de 21, pierde su apuesta, independientemente de lo que haga el crupier. Por lo que si el crupier también se pasa de 21 sigue siendo el jugador el que pierde, ya que se había eliminado antes. Eso hace que la banca gane en un escenario que a priori es de empate, y esto ocurre el 7,9% de las veces que se juega. Eso es aproximadamente un 8% de ventaja sobre el jugador que finalmente se reduce a un 5,6% si tenemos en cuenta que los blackjacks se pagan 3 a 2 en vez de los 2 a 1 equitativos. Esa es la principal ventaja del casino.

Para luchar contra esto, el jugador tiene opciones que le permiten tener una estrategia flexible. Puede doblar cuando le interesa, abrir manos o rendirse, y lo más importante, conoce una carta del crupier que le hará tomar decisiones distintas de pedir o plantarse teniendo en cuenta ésta. Y aquí es donde entran las matemáticas una vez más:

5.Estrategia Básica

En los años 50 un grupo de matemáticos líderados por Roger Baldwin desarrollaron la estrategia básica. Esta se basa en optimizar las decisiones del jugador de tal manera que la acción que elija es la mas óptima en cuanto a ganancia de entre todas las acciones que puede tomar. Esto nos brinda a priori la máxima ganancia posible a largo plazo.

Y se consigue elaborando un modelo probabilístico que calcula en base a la mano del jugador condicionada por la carta del crupier cuando es mas óptimo tomar la decisión de plantarnos, pedir carta doblar, separar, o apostar a seguro, ya sea para para manos duras que son inflexibles como para manos blandas donde hay un as y puede cambiar la suma.

En el lenguaje matemático podemos decir que mediante una función recursiva con unos valores finales definidos, y una tabla con todas las probabilidades para la suma del crupier, se calcula el máximo entre la ganancia esperada si se planta y la ganancia esperada teniendo en cuenta todas las posibles cartas que pueda recibir al pedir carta (el promedio de todas las posibles ganancias esperadas si pide la siguiente carta). Con esto se elabora una tabla de resultados que nos aseguran matemáticamente cual es la acción mas conveniente, haciendo que nuestra estrategia sea óptima sea cual sea la combinación de cartas entre el jugador y el crupier. Por lo que si queréis jugar bien al Blackjack os recomiendo que os descarguéis esta tabla:

DESCARGAR ESTRATEGIA BÁSICA 1 MAZO

DESCARGAR ESTRATEGIA BÁSICA VARIOS MAZOS

Como detalle fijaros que en las manos duras a partir de 17 nos da instrucciones de plantarnos, lo que significa que independientemente de la carta que tenga el crupier las matemáticas nos dicen que la ganancia esperada es siempre más alta si nos plantamos. Eso responde a la pregunta de porque la casa pone 17 como límite, si entendemos que la banca también es un jugador.

Fijaros también que nunca debéis apostar a seguro. Esto es debido a que aunque la banca tenga un AS en su mayoría de veces no conseguirá Blackjack.

Pues bien, con esta estrategia pasamos del 5,6% anterior a un porcentaje inferior al 1% para la banca que oscilará dependiendo de las reglas de la mesa y de las barajas que se utilicen. Tenemos que entender que aunque se trate de una estrategia óptima no implica que necesariamente sea una estrategia ganadora, pues el balance de nuestra ventaja pese a ser pequeño sigue siendo negativo. Y esto se debe principalmente a que las cartas altas del crupier disminuyen en mayor medida nuestra ventaja que las cartas bajas, por lo que aunque tomemos la mejor decisión, no ganaremos necesariamente, aunque si jugaremos de la mejor manera posible.

En el Blackjack americano los porcentajes son ligeramente diferentes pero en ningún caso superan el 1%, siempre y cuando apliquéis una estrategia básica adaptada para estas reglas, recordad que cada modalidad es diferente y necesita una estrategia básica diferente.

Análisis Estrategia Básica

Si la manera mas óptima de jugar tan solo minimiza las pérdidas, ¿existe una manera real de ganar en el blackjack?

Para responder a esta pregunta debemos entender que hipótesis se han hecho para resolver este problema.

La estrategia básica se desarrolló teniendo en cuenta que las probabilidades de cualquier cada carta son invariables a lo largo del juego, es decir la probabilidad que aparezca un as, un número o una figura son siempre las mismas. cosa que no es del todo real ya que las probabilidades van cambiando a medida que se van repartiendo las cartas.

Pero que pasaría si os dijera que podemos tener un sistema para contar estas cartas, y anticiparnos a más manos ganadoras?

6.Conteo de Cartas (Sistema HI-LO)

A este sistema de conteo se le conoce como HI-Lo y lo escribió por primera vez en 1962 un matemático ex empleado de IBM en el libro “Beat the dealer”

La idea es controlar las cartas altas de la baraja, que son las únicas que pueden conformar blackjack, de tal manera que si sabemos cuantas cartas altas han aparecido sabemos si quedan muchas o pocas por aparecer, y así podemos saber que probabilidades tenemos de obtener blackjack en tiempo real, con la ventaja adicional que eso supone.

Para conocer esa ventaja necesitamos tener un control sobre las cartas que van apareciendo, algo que parece ser bastante complicado si para esto necesitamos memorizar todas las cartas que van apareciendo. Afortunadamente las matemáticas nos ofrecen una solución mejor.

El sistema Hi-Lo asocia a las cartas a tres valores diferentes -1, 0 y 1.

1 negativo a las cartas altas, 1 positivo a las cartas bajas y las restantes adquieren un valor nulo o 0.

Nuestro cometido es entonces llevar la cuenta de todas las cartas que se han repartido incluida la del crupier.

Dado que en este sistema existe la misma proporción de cartas altas y bajas, una cuenta positiva o negativa nos indica directamente cuando quedan o no más cartas altas en la baraja.

Por lo que si nuestra cuenta es negativa es porque habremos contado más cartas altas, y quedarán menos cartas altas por aparecer, algo que no nos interesa.

En cambio si nuestra cuenta es positiva es porque habremos contado más cartas bajas, y sabremos con certeza que quedan más cartas altas por aparecer. Es aquí donde podemos sacar provecho.

Nuestro objetivo con este sistema es acumular en esa cuenta un número positivo lo mas grande posible que nos ofrece las mayores probabilidades de obtener blackjack. Si lo conseguimos podemos decir que la mesa está caliente y podemos modificar la estrategia básica a nuestro interés por ejemplo para doblar la apuesta o apostar a seguro. Como el blackjack se paga 3 a 2 y los casos de empate son poco probables tenemos por primera vez un sistema de juego con una ganancia esperada superior a la de la banca. Y todo gracias a las matemáticas.

Fijaros que las cartas bajas equilibran a las altas, lo que implica que la cuenta total una vez se hayan repartido todas las cartas tiene que ser 0 obligatoriamente. Además también vemos que hay 3 cartas que no se consideran ni altas ni bajas, esto se debe a que el sistema tiene que equilibrar 5 altas con 5 bajas, pero en la baraja hay mas números que figuras ases y dieces por lo que hay 3 números sobrantes que se agrupan en un valor neutro que no interfiere sobre la suma.

En el caso de jugar con varias barajas hay que tener en cuenta que no es lo mismo una suma con 4 barajas pendientes que la misma suma con 1. Por eso tenéis que ir dividir la suma actual entre el número de barajas que creemos que quedan por salir, y esta será la cuenta real.

Existen otros métodos de conteo algo más eficientes pero asignan mas valores y son algo más complicados de ejecutar, pero si entendéis el HI-LO entenderéis cualquier otro.

Pese a que podemos tener una ventaja con este sistema todo esto sucede tras miles y miles de manos y nos da una ventaja de décimas de porcentaje, por lo que váis a necesitar una cartera muy grande y mucho tiempo.

Medidas actuales contra el Conteo de Cartas

Lamentablemente los casinos han introducido medidas para contrarrestar a los contadores de cartas.

-La primera es aumentar el número de barajas, y es que que a más barajas use el juego más complicado lo váis a tener para ganar contando. Pensad que el echo de que existan mas barajas pendientes hace que sea mas difícil acumular solamente las mejores cartas al final que con una sola baraja, eso hace que la varianza de la cuenta que estáis llevando sea mas pequeña y en consecuencia tengáis menos posibilidades.

Una: 0,17%

Dos: 0,46%

Cuatro: 0,60%

Seis: 0,64%

Ocho: 0,66%

-La segunda medida que se aplica actualmente son los mezcladores y elementos automáticos para mezclar las cartas antes de que termine el juego, que obligan al contador a reiniciar la cuenta que llevaba acumulada y por lo tanto perder toda la ventaja.

-Además algunos casinos como en Las Vegas pagan 6 a 5 por el blackjack lo cual triplica la ventaja de la casa sobre el jugador e incluso en algunos si sospechan que un jugador es contador se pueden permitir el lujo de modificar la apuesta de la casa.

Tenéis que saber que el conteo es legal pero si os descubren os expulsarán del casino. Los casinos conocen el perfil de un contador de tal modo que no les será muy complicado descubriros si empezáis a ganar dinero.

7.Conclusiones finales

Desde el punto de vista de los números si existe una posibilidad matemática de ganar al blackjack por eso mucha gente ha ganado dinero, pero no es sencillo de ejecutar, ni rápido, ni mucho menos barato por lo que probablemente no esté a tu alcance.

En cualquier caso si váis a jugar:

• Os recomiendo aprender y adaptar primero la estrategia básica para mejorar tus probabilidades.
• No apostar en mesas con premios inferiores a 3 a 2.
• Jugar en mesas con el número de barajas más pequeño posible y revisar muy bien las reglas de la mesa.
• Y si vas a contar cartas, estudiar como se mezclan y probar primero tu estrategia antes de invertir una gran cantidad.

Recordad que:

• A mas barajas, más gana la casa.
• A peores reglas, más gana la casa.
• Y a menos estrategia o conocimiento tienes, más rápido y seguro gana la casa.

Entonces la casa siempre gana?

No siempre gana, pero está claro es que si no lo hace cambiará lo que sea necesario para hacerlo. Recordad que esto es un negocio.

The post Las Matemáticas del Blackjack first appeared on Math4all.

¿Crees que se puede ganar en la Ruleta?. En este artículo analizaré el juego de la Ruleta a nivel matemático para que sepas si es posible o no ganar a largo plazo. ¿Estás preparado?

1.Reglas de la Ruleta
 1.1.Apuestas de la Ruleta
2.Estudio matemático de la Ruleta
 2.1.Esperanza matemática de un pleno
 2.2.Ganancia esperada de un pleno
 2.3.Ganancia esperada de todas las apuestas
 2.4.Simulación con dinero real
3.Preguntas más frecuentes
4.Conclusiones

1.Reglas de la Ruleta

-La Ruleta Europea se compone de 37 números que giran y se lanza una bola que cae en uno de ellos.

Ruleta Europea

-Las apuestas se hacen en base a un número, o a un grupo de ellos y se premian de diferente manera.

–18 de los números son rojos y los otros 18 negros que sumados al 0 nos dan 37.

-La mitad de los números son pares y la otra mitad son impares, excepto el 0 que no se considera par ni impar en este juego.

-En la Ruleta americana tenéis un número más que es el doble cero pero en este vídeo nos centraremos en la ruleta europea con un solo cero.

Ruleta Americana

-Las apuestas pueden hacerse con la ruleta parada o en movimiento desde que el crupier o la máquina indiquen abran juego y hasta que indiquen “no va más”.

-Una vez la bola ha caído en el número, se procede a premiar a los que han acertado y la banca se queda con las fichas restantes de los jugadores que han perdido sus apuestas.

Apuestas y probabilidades de la Ruleta

Vamos a ver ahora todas las apuestas o jugadas de la ruleta europea a las que puedes apostar y cuales son sus probabilidades:

Apuestas Sencillas (suertes sencillas)

• Rojo-Negro: 1 a 1 (probabilidades 18/37 =~ 48.6%) (47.4% Ruleta Americana)

• Par-Impar: 1 a 1 (probabilidades 18/37 =~ 48.6%) (47.4% Ruleta Americana)

• Pasa-Falta (19-36/1-18):  (probabilidades 18/37 =~ 48.6%) (47.4% Ruleta Americana)

Apuestas Múltiples (suertes con otras probabilidades)

• Doble Docena: 1/2  a 1 (probabilidades 24/37 =~ 64.8%) (63,1% Ruleta Americana)

• Doble Columna: 1/2 a 1 (probabilidades 24/37 =~ 64.8%) (63,1% Ruleta Americana)

• Docena: 2 a 1 (probabilidades 12/37=~  32.4%) (31.6% Ruleta Americana)

• Columna: 2 a 1 (probabilidades 12/37 =~ 32.4%) (31.6% Ruleta Americana)

• Línea/Seisena: 5 to 1 (probabilidades 6/37 =~ 16.2%) (15.8% Ruleta Americana)

• Cuadro: 8 a 1 (probabilidades 4/37 =~ 10.8%) (10.5% American Ruleta Americana)

• Calle: 11 a 1 (probabilidades 6/37 =~ 8.1%) (7.9% American Ruleta Americana)

• Caballo/Media: 17 a 1 (probabilidades 2/37 =~ 5.4%) (5.3% Ruleta Americana)

• Pleno: 35 a 1 (probabilidades 1/37 =~ 2.7%) (2.60% Ruleta Americana)

Como hemos visto las jugadas simples y algunas múltiples son realmente lo mismo a nivel matemático. También hemos visto que el premio aumenta en proporción a lo difícil que es acertar.

Entonces nos surgen varias preguntas:

-¿El premio que recibimos es rentable?

-Si unas tienen mas premio pero otras son más fáciles de acertar, ¿cual nos sale es mejor para apostar?

2.Estudio Matemático de la Ruleta

Si estudiamos la ruleta desde el punto de vista matemático nos daremos cuenta de que cualquier apuesta es un experimento con dos posibles resultados éxito y fracaso, donde la probabilidad de acertar cada número es la misma, independientemente de los números que cojamos, ya que todos los números tienen la misma probabilidad de salir.

Además cada tirada no depende de la anterior y no importa el número que haya salido antes.

En este escenario ideal el número de aciertos para una serie de tiradas siguen una distribución binomial n,p donde n es el número de tiradas y p la probabilidad de acertar la apuesta.

La probabilidad de acertar x veces en n tiradas es de n combinado con x por p elevado a x por (1-p) elevado a x-n, donde si p es la probabilidad de ganar 1-p es la probabilidad de fallar la apuesta.

Con esto podemos calcular la probabilidad de acertar 0, 1, 2 veces exactas etc….

Pero para saber si una apuesta es rentable lo que necesitamos saber realmente es si vamos a ganar o a perder, y para esto tenemos que saber cual es la ganancia promedio de esa apuesta, por lo que necesitamos primero definir primero el concepto de esperanza matemática.

La esperanza matemática para una variable binomial es el número de aciertos promedio para n experimentos, y se calcula como p·n, en nuestro caso será el número promedio de apuestas ganadas jugando n veces.

Esperanza Matemática de un Pleno

Entonces la esperanza de un pleno para 1 tirada será 1 · 1/37 que es aproximadamente 0.027, es decir que jugando una vez a pleno esperamos acertar un 2,7% en promedio

Para 2 tiradas será lo mismo pero por 2, que es aproximadamente el 5,4% de aciertos.

Para 3 tiradas, es lo mismo pero por 3,… y así podemos calcular la probabilidad para las tiradas que queramos.

Fijaros que para 37 tiradas la esperanza es 1, lo que significa que que en 37 tiradas apostando a pleno esperamos ganar en promedio 1 vez, que es lo que algunos habíais intuido ya.

Ganancia Esperada de un Pleno

Ahora que ya sabemos calcular el promedio de acierto para cada apuesta, y el premio, calcular la ganancia esperada para una apuesta es sencillo, ya que es sencillo calcular el beneficio y la pérdida promedio.

Ganancia esperada = Beneficio esperado – Pérdida esperada

donde:

Beneficio promedio = número de aciertos promedio · premio de la apuesta · apuesta = esperanza de ganar · premio · apuesta

Pérdida promedio = número de fallos promedio · la apuesta (que es lo que perdéis) = esperanza de perder · apuesta

Entonces la ganancia esperada para un pleno en 1 tirada:

es igual a la esperanza para 1 tiro · premio · apuesta – la esperanza de perder para 1 tiro (que se calcula igual pero con la probabilidad de perder) · apuesta:

Esto es 1/37 · 35 (que es el premio del pleno) · apuesta – 36/37 · apuesta, que es aproximadamente –0.027 por apuesta, es decir que en promedio esperáis a perder un 2,7% de vuestra apuesta cada vez que juguéis a un pleno. (2,6% para ruleta americana)

y lógicamente el margen esperado del casino o beneficio esperado de la casa será de un 2,7% de tu apuesta cada vez que juegues.

Si lo calculáis para dos tiradas la ganancia esperada es el doble de negativa por lo que el margen del casino esperado asciende hasta el 5.4%.

y que pasa cuando juguemos 37 veces?, como hemos visto esperamos ganar una vez, pero cual es el beneficio?

En 37 tiradas la esperanza de ganar es 1 y la esperanza de perder es lógicamente 36, por lo que si hacéis los cálculos veréis que el beneficio es de -1 · apuesta. Es decir que en 37 tiradas el casino espera ganar en promedio el valor de vuestra apuesta.

Esto significa que si jugáis a pleno 37 veces apostando por ejemplo 1 euro/dolar cada vez, váis a perder en promedio 1 euro/dolar.

Ganancia Esperada de todas las Apuestas

Como vemos, jugar a pleno además de ser difícil de acertar nos genera pérdidas a corto y a largo plazo. A más jugamos más dinero perdemos y necesitamos jugar en promedio 37 veces para acertar, pero cuando lo hacemos nos pagan 35 que es menos de lo que hemos perdido. Por lo que no parece una buena estrategia jugar a un solo número todo el rato.

Entonces, existe alguna jugada mejor que el pleno?

por eso voy a enseñaros unos resultados que he calculado por mi cuenta aplicando la misma fórmula para todas las apuestas. Así que vamos a ver la ganancia esperada o margen de la casa para todas las jugadas.

Apuestas Complejas

• Dos Columnas = (24/37∙0.5)Ap-(13/37∙1)Ap = 12/37Ap-13/37Ap = -1/37Ap  =~  –2.70% de Ap

• Dos Docenas = (24/37∙0.5)Ap-(13/37∙1)Ap = 12/37Ap-13/37Ap = -1/37Ap  =~  –2.70% de Ap

• Columna = (12/37∙2)Ap-(25/37∙1)Ap = 24/37A-25/37Ap = -1/37Ap    =~  –2.70% de Ap

• Docena = (12/37∙2)Ap-(25/37∙1)Ap = 24/37A-25/37Ap = -1/37Ap    =~  –2.70% de Ap

• Seisena/Línea = (6/37∙5)Ap-(31/37∙1)Ap = 30/37Ap-31/37Ap = -1/37Ap  =~  –2.70% de Ap

• Cuadro = (4/37∙8)Ap-(33/37∙1)Ap   = 32/37Ap-33/37Ap = -1/37Ap  =~  –2.70% de Ap

• Caballo/Media = (2/37∙17)Ap-(35/37∙1)Ap = 34/37Ap-35/37Ap = -1/37Ap  =~  –2.70% de Ap

• Transversal/Calle = (3/37∙11)Ap-(34/37∙1)Ap = 33/37Ap-34/37Ap = -1/37Ap  =~ –2.70% de Ap

• Pleno/Número = (1/37∙35)Ap-(36/37∙1)Ap = 35/37Ap-36/37Ap = -1/37Ap  =~  –2.70% de Ap

Apuestas Simples

• Rojo-Negro = (18/37∙1)Ap-(18/37∙1)Ap-(1/37∙1/2)Ap = 18/37Ap-19/37Ap = -1/74Ap =~  –1.35% de Ap

• Par-Impar = (18/37∙1)Ap-(18/37∙1)Ap-(1/37∙1/2)Ap = 18/37Ap-19/37Ap = -1/74Ap =~  –1.35% de Ap

• Pasa-Falta = (18/37∙1)Ap-(18/37∙1)Ap-(1/37∙1/2)Ap = 18/37Ap-19/37Ap = -1/74Ap =~  –1.35% de Ap

Además he construido una hoja de cálculo y he aplicado la fórmula que habéis visto para todas ellas, cogiendo la probabilidad y el premio de cada una, para ver cual es su ganancia jugando una o más veces. El resultado obtenido más importante es que cualquier jugada simple o múltiple tienen la misma ganancia esperada en la Ruleta europea y la misma ganancia siempre en la Ruleta americana. Esto es porque en la ruleta europea en las apuestas simples si sale el 0 o el doble 0 perdemos solamente la mitad de la apuesta, y eso hace que la ganancia mejore. De esta manera he podido calcular algunos resultados que me han llamado la atención y que váis a ver a continuación.

DESCARGAR PLANTILLA

-Vemos que las apuestas simples son mejor para nosotros que un pleno o cualquier apuesta múltiple.

-Vemos que dentro de las simples o las múltiples no importa la apuesta que cojáis, si cogéis dos docenas, ganarás mas veces pero cuando pierdas también perderás más, y si cogéis el pleno, el premio es mas grande, pero os costará mas dinero acertarlo que el premio que os darán, por eso el margen de la casa es el mismo para todas las apuestas.

Simulación con Dinero real

Aquí tenéis una pequeña simulación de lo que pasaría con dinero real.

• 1 tirada apostando 1 euro/dólar: perderéis en promedio 1 céntimo en las simples y casi 3 céntimos en las múltiples (esto es porque en las apuestas simples si sale el 0, perdéis solamente la mitad de la apuesta y hay que contemplar esa posibilidad)

• 1 tirada apostando 20 euros/dólares: perderéis 27 céntimos de promedio en las simples y 54 céntimos en las múltiples. Lo que significa que a más dinero apostáis mas dinero perdéis.

• 20 tiradas apostando 1 euro/dólar por tirada: perdéis de nuevo 27 y 54 céntimos. (ya que es la mismo jugar 1 vez apostando 20 euros que jugar 20 veces apostando un euro, aunque hay que tener en cuenta que jugando 20 veces vuestro promedio real será mas parecido a esas cantidades que jugando una. Lo que significa que a mas veces jugáis mas seguro perdéis.

• 37 tiradas con cualquier cantidad: perderéis en promedio esa cantidad en total en cualquiera de las múltiples y la mitad de la cantidad en las simples. Y si sustituís la x por cualquier número y sabréis cuanto váis a perder en promedio sea cual sea la apuesta.

Tened en cuenta que estos resultados son para la ruleta europea, pero la americana es todavía peor ya que las apuestas se premian igual pero tenéis menos probabilidades de acertar al haber un número más, además si sale el 0 o el doble 0 lo perdéis todo en este caso.

3.Preguntas más frecuentes

He reunido las preguntas más interesantes para un jugador de casino, y así resolver alguna de vuestras dudas:

PREGUNTA: Si han salido muchos rojos seguidos, Es más probable que salga un negro en la siguiente tirada?

RESPUESTA: NO, de echo es un error muy habitual de los jugadores. Tenéis que tener en cuenta que la ruleta es un mecanismo físico, que no recuerda las tiradas que se han hecho antes. Por eso cada tirada es independiente de la anterior y saldrá lo que tenga que salir, pero no lo contrario a lo que ha salido antes solo porque lo estemos esperando. Por eso se dice que la ruleta no tiene memoria. Es importante que aprendáis a calcular las probabilidades correctamente. Antes de jugar, que salgan muchos rojos o muchos negros seguidos tiene una probabilidad pequeña, pero una vez eso ya ha ocurrido, lo que viene a continuación no tiene mas probabilidad ni menos por ser lo contrario, de hecho sigue teniendo la misma probabilidad.

PREGUNTA: Qué pasa si juego varias apuestas a la vez, como por ejemplo varios números al mismo tiempo?

RESPUESTA: Combinar apuestas significa que haces varias apuestas al mismo tiempo, pero no significa que tengan relación, de echo cada apuesta se paga por separado. Por lo que si jugáis a varias apuestas, la casa siempre paga cada apuesta por separado. A nivel matemático si abarcas más números tu probabilidad puede aumentar, pero no tu rentabilidad. Al ser apuestas independientes estás haciendo muchas apuestas que no son rentables al mismo tiempo, y al final eso es todavía menos rentable. Recuerda que si quieres coger un grupo una jugada simple también agrupa números y tiene menos margen.

Combinar apuestas te dará más probabilidades de acertar alguna o varias si las combinas, el problema es que cada apuesta es independiente en premio, y sabemos que ninguna tiene un margen positivo, esto significa que aunque las combines estás haciendo muchas apuestas que no son rentables al mismo tiempo, y al final eso es todavía menos rentable. Recuerda que con apuestas simples también puedes abarcar grandes grupos de números, y si juegas en la ruleta Europea las apuestas simples tienen menos margen de pérdida.

PREGUNTA: ¿Y si juego a doblar mi apuesta cada vez que pierdo?

RESPUESTA: Doblar al rojo o al negro cuando se pierde (o cualquier otra jugada) se le conoce como “martingala”, y también ha sido estudiada matemáticamente. Lo primero que debes tener en cuenta es cuantas fichas tienes, y cuantas veces veces puedes permitirte doblar tu apuesta. Ten en cuenta que doblar implica apostar cada vez el doble de lo perdido anteriormente. Si pierdes una ficha, tienes que apostar 2, después 4, luego 8, 16, 32…. y esto es un crecimiento de pérdida exponencial, lo cual puede hacer que pierdas todas tus fichas en una racha relativamente corta de mala suerte. A más maximices la cantidad de veces que puedes doblar más podrás aguantar una siguiente vez doblando, pero esto solo se consigue de dos maneras: o teniendo mucho dinero, o apostando fichas de muy bajo valor. En cualquiera de las dos podrías salir victorioso la mayoría de veces que visites un casino, pero que ganes la mayoría de veces no significa que tu balance vaya a ser positivo en el tiempo. Recuerda que mientras ganes seguirás jugando. El problema es que matemáticamente existe una combinación de rojos o negros… seguidos que supera el límite de veces que podrás doblar con el capital que tienes  (porque nadie tiene dinero infinito). Seguramente piensas que es casi imposible que salgan 10 o 15 rojos seguidos, y razón no te falta, es bastante difícil, pero no imposible. El problema es que al jugar más tiempo estás aumentando las posibilidades de que esa combinación se manifieste. Por lo que a más juegas, más probable es que eso acabe sucediendo, y si eso sucede, necesitarás doblar con dinero que ya no es de beneficio por lo que puedes perder todo el beneficio que tenías acumulado de jugar haciendo esto y mucho más. Ten en cuenta que antes de jugar es muy difícil que salgan 10 rojos seguidos, pero una vez han salido 9, que salga otro más es bastante sencillo, porque la ruleta no tiene memoria. Créeme, por experiencia sé que no es tan complicado que salgan esas tiras de rojos y negros seguidos, así que mucho cuidado con la martingala.

PREGUNTA: Antes has dicho que el margen es el mismo para todas las jugadas múltiples, pero ¿hay alguna diferencia?

RESPUESTA: En realidad si, si coges una jugada difícil de acertar como un pleno, perderás con más frecuencia y vas a necesitar seguir jugando para llegar hasta el premio o recuperar el dinero que has perdido, con lo cual jugarás mas veces en promedio, y a más juegas más pierdes.

PREGUNTA: Y que pasa si tengo pocas fichas para apostar, ¿qué apuesta me recomiendas?

RESPUESTA: Si tienes pocas fichas, nunca cojas el pleno o cualquier jugada poco probable, porque no tendrás suficientes fichas para cubrir el promedio de tiros hasta acertar. Recuerda que para un pleno necesitas 37 tiradas para obtener un acierto en promedio, si no tienes las suficientes fichas la mayoría de veces te irás antes de acertar uno. Si tienes pocas fichas haz apuestas sencillas o probables.

PREGUNTA: Algo que me ha sorprendido es que jugar una partida con 20 euros es lo mismo que 20 partidas de un euro, porque a mi me gusta jugar, y no entiendo porque iba a jugar 1 sola partida de 20 euros pudiendo jugar 20 y pasar más tiempo jugando con el mismo dinero?

RESPUESTA: Según esta fórmula si, ganarás lo mismo en promedio, pero hay una cosa que has pasado por alto y es que el promedio es un dato estadístico, eso significa a mas tiradas haces más se acerca tu ganancia real a la que hemos calculado. Jugando una sola vez ganarás o perderás pero ese beneficio será muy diferente al calculado, en cambio por estadística jugando muchas veces te acercarás más a ese número. Es por eso el casino ya te da una serie de fichas por esos 20 euros, para que puedas jugar varias veces con esa cantidad. Porque a mas juegas, mas dejas que las matemáticas hagan su trabajo.

PREGUNTA: Entonces jugando esos 20 euros de ficha en ficha voy a perder mas dinero?

RESPUESTA: No más dinero pero si con mayor seguridad, concretamente te acercarás más a ese número que es negativo. Pero eso también hace sea más difícil ganar o perder más que esa cantidad. Jugar a largo plazo corrige las desviaciones puedas positivas o negativas que puedas tener y te acerca al valor esperado, eso significa un valor más estable, aunque te recuerdo que es negativo, por eso a más juegues más difícil te será ganar.

PREGUNTA: Me estás diciendo que al casino le interesa que tu juegues más veces aunque sea la misma cantidad?

RESPUESTA: Es exactamente lo que te estoy diciendo, jugando más veces será más difícil que la suerte te beneficie.

PREGUNTA: Entonces si quiero ganar tengo que poner los 20 euros en una sola apuesta?

RESPUESTA: Si quieres optar a ganar sí, pero si juegas los 20 euros a una sola apuesta vas a ganar o perderlo todo, porque solo tienes una tirada, Si quieres ganar (o perder) la misma cantidad pero jugando las fichas de uno en uno, vas a tener que ganar todas las veces (o perder todas las veces), porque para una misma jugada es lo mismo un premio de 20 euros que 4 premios de 5. Pero no es lo mismo acertar (o fallar) una vez, que acertar (o fallar) 4 veces seguidas.

PREGUNTA: Bien pero también puedo perder más dinero, porque también es más fácil fallar 1 vez que fallar 4.

RESPUESTA: Si te arriesgas puedes ganar más o perder más. Y de la otra manera perderás con más seguridad. (Hablando estadísticamente)

8. Conclusiones finales

Según las matemáticas no tiene sentido jugar a la ruleta para ganar dinero.

-El casino no necesita hacer trampas, simplemente los números no están a tu favor.

-Solo es posible ganar en la ruleta si conoces algún fenómeno físico, o algún dato estadístico real de esa ruleta que pueda cambiar las probabilidades de algunos números a tu favor. Para eso necesitas un estudio de miles y miles de números y una certeza matemática aceptable. Además deberás anotar las de apariciones de cada número en un fichero, por lo que quizás esta plantilla te ayude con esto:

DESCARGAR PLANTILLA RULETA

Pero cuidado, si ves que algún número tiene más apariciones, lo más probable es que sea producto del azar y no de que ese número tenga más probabilidad realmente, por lo que necesitarás miles de tiradas, y una certeza estadística aceptable. Tened en cuenta que los casinos luchan siempre para aleatoreizar lo máximo posible sus mecanismos. Pero como curiosidad podéis hacer un estudio de muchas tiradas para verlo.

En cualquier caso, si váis a jugar os recomiendo:

• Hacer solo apuestas simples y probables.
• Ser fugaces y haced pocas apuestas.
• No combinar apuestas.
• Limitar el dinero que váis a jugar antes de entrar, y nunca sobrepasar esa cantidad.
• Retiraros a tiempo (en esta última creedme).

Tened en cuenta que a la larga:

• A más dinero juegas, más gana la casa.
• A más combinas, más gana la casa.
• A más jugadas haces, más seguro y más gana la casa.

Entonces el casino gana siempre?

No siempre gana, pero si vuelves te acabará ganando.

Recuerda que la partida nunca termina.

Si quieres ver más videos como Póker o Blackjack puedes visitar mi canal de math for all donde los estudio con detalle.

The post Las Matemáticas de la Ruleta first appeared on Math4all.