El parchís es un juego más complicado de lo que parece, y en este artículo voy a enseñarte como las probabilidades pueden ayudarte a mejorar tu estrategia para no depender exclusivamente del azar.

Bienvenido entonces a las matemáticas del parchís.

1.Reglas del Parchís
2.La ventaja en Parchís
2.1.Gestionar la ventaja
3.Prioridad
4.Probabilidades de parchís
4.1.Probabilidades de comer/ser comido
4.2.Probabilidad para salvarnos
4.3.Probabilidad en ataque
5.Parchis online
6.Tutorial práctico de parchís

1.Reglas del Parchís

El parchís es un juego de mesa de hasta 4 jugadores, donde podemos jugar 1 contra 1, por parejas, o 4 individual. Puede jugarse con 1 dado en la versión clásica, aunque normalmente suelen utilizarse 2 dados para agilizar la velocidad de las partidas.

• Cada jugador dispone de 4 fichas para moverlas en su turno con el resultado del lanzamiento de los dados, moviendo la ficha deseada con cada dado.
• El objetivo es llegar a meta con todas las fichas antes que el rival, dando la vuelta con todas ellas hasta la entrada de nuestro color, introduciéndolas en meta con el valor exacto. Y si la partida es por parejas, tendrán que ser todas las fichas de la pareja.
• Antes de llegar con cada ficha a la casilla de meta el jugador puede comer fichas del oponente que no estén a seguro, armar puentes o barreras con dos fichas o poner sus fichas a salvo en las casillas de seguro. Estos seguros se distribuyen cada 5 o 7 casillas.
• Las reglas para salir de casa es sacar un 5 con alguno de los dados o con la suma de los dos.
• Si sacamos doble valor con ambos dados volvemos a tirar, y si sacamos doble 3 veces seguidas nuestra ficha vuelve a casa siempre y cuando no esté ya en la zona de meta. Existen otras reglas para diferentes modalidades pero estas son las oficiales.

Nuestro cometido entonces es gestionar el movimiento de las fichas para tener las mayores opciones de ganar la partida.

Yo soy especialista en parchís de 1 contra 1, y me voy a centrar en esta modalidad, pero la mayoría de la teoría que voy a enseñar es fácilmente aplicable parejas o 4 individual.

2.La Ventaja en Parchís

Como has visto Las reglas son muy sencillas, pero antes de saber como ganar a nuestro rival, ¿como sabemos quién está ganando?

Saber que jugador tiene ventaja en parchís es importante y para averiguar esto  vamos a analizar primero el tablero.

En parchis cada ficha recorre exactamente 71 casillas desde que sale de casa hasta que entra en meta. Si multiplicamos eso por cada ficha necesitamos en total 284 movimientos entre las 4 fichas para terminar nuestra partida.

Supón que tienes tus fichas distribuidas con esta configuración:

En esta, la ficha más cercana a meta necesita 8 movimientos para entrar en meta, la siguiente mas cercana 25 movimientos, la siguiente mas cercana 42 movimientos, y la mas alejada 59 movimientos. Es decir que entre todas suman 134 movimientos para terminar nuestra partida o lo que es lo mismo que decir que has realizado 150 movimientos de 284 (simplemente es hacer la resta).

Si en el mismo instante tu rival lleva 130 movimientos, sabes con certeza que a priori tu tienes más probabilidad de ganar la partida, pues te quedan menos movimientos para terminar. Es sencillo no?

Tenemos a priori una manera de saber quién tiene ventaja, y aunque la ventaja no es exactamente las probabilidades de ganar como ya veremos, pero nos da una idea de cómo vamos.

Si eres capaz de ver quién tiene esta ventaja aunque sea de una manera visual, tienes una información muy valiosa para controlar la partida. ¿Te imaginas para qué?

La estrategia del parchís es muy simple, cuando tienes ventaja debes mantenerla, y si la pierdes tienes que recuperarla, por eso es importante saber si efectivamente estas ganando o perdiendo, para saber si hay aplicar una estrategia agresiva o más conservadora. Y esto depende del riesgo!

2.1.Gestionar la ventaja

Imagínate que ya dispones de mucha ventaja y tu rival tiene todas sus fichas en la parte izquierda del tablero. Además tu tienes una ficha rezagada que hace de tapón a sus fichas más adelantadas. Una técnica habitual cuando el rival ve que tenemos ventaja es atraparnos la ficha con puente acercando dos fichas para cazarla. Pero si eres consciente de tu amplia ventaja, verás que tiene poco sentido impedir su paso si para eso necesitamos arriesgar una ficha. Por lo que lo más inteligente es moverla a la otra parte del tablero lo antes posible donde esté segura, para seguir con la misma ventaja pero esta vez sin riesgo.

Imagina otra situación donde tienes ventaja suficiente y puedes elegir mover la ficha más adelantada por prioridad o la ficha que no está en seguro para ponerla a salvo. Si analizas y ves que tu ventaja es suficiente para ganar, ¿Qué sentido dejar una ficha en riesgo pese a estar a una distancia considerable?

Si el rival saca un doble puede acercar la ficha hasta la tuya e incluso matarla en la siguiente tirada, ¿pero cual es la probabilidad de sacar doble?

Sacar un doble es probablemente más fácil de lo crees, ya que con 6 casos de 36 tenemos aproximadamente un 16,6% de probabilidades de obtenerlo, o 1 sexto, es decir que 1 de cada 6 veces que tomemos esta decisión pondríamos en riesgo una partida que tenemos prácticamente ganada. Esto nos demuestra la importancia de tener todas las fichas a salvo especialmente en una situación de ventaja. y es que cualquier detalle mal calculado puede poner en riesgo la partida entera. Por tanto si tienes ventaja, no arriesgues si no es necesario.

Otra situación de riesgo a evitar es asegurar nuestra ficha en la casilla de salida del rival cuando este tiene una ficha en la salida y otra en casa, o las dos en casa. Porque con tener una ficha fuera le vale un 5 para matarnos y eso ocurrirá casi la mitad de las veces que tire (41,67%), lo cual no nos interesa.

En conclusión si tienes una ventaja lo suficientemente grande para ganar debes adoptar una postura conservadora, es decir evitar el riesgo o la confrontación en la medida de lo posible, moviendo la ficha que sea necesaria.

3.Prioridad en Parchís

Como has visto, hay situaciones donde poner nuestras fichas a salvo es más importante que mover fichas mas adelantadas, entonces da igual la ficha que movamos?

Me imagino que piensas que tanto si mueves una ficha atrasada como una adelantada estás moviendo las mismas fichas en computo global, entonces elegir una u otra no parece darnos más o menos ventaja.

Pero aunque no lo creas mover la más adelantada si puede darte más opciones de ganar. Hay que tener en cuenta que cada meta suma 10, y si mueves siempre la ficha más adelantada, vas a llegar antes con con las mismas tiradas, puesto que ganas esa ventaja antes. Por eso si solamente tienes que llegar a meta hazlo siempre por prioridad y no muevas fichas mas atrasadas de manera agrupada.

Mover todas las fichas en grupo sin un concepto de prioridad, es un error si no se justifica. El movimiento en grupo implica mover las fichas más atrasadas y eso adelanta tu defensa, lo que permite al rival avanzar más fácil y presionarte con las fichas adelantadas. Además al mover las fichas en grupo avanzas muy lento con la ficha que tienes delante y eso no te permite llegar rápido hasta el rival para presionar lo antes posible. En definitiva mover en grupo no te hace perder ventaja como tal, pero si no tiene un motivo estratégico si te quita posibilidades de ganar.

Me imagino que te preguntas si estoy diciendo que la probabilidad de ganar y la ventaja no son exactamente lo mismo, y efectivamente no lo son.

En este otro ejemplo puedes ver que nuestro rival está más lejos en movimientos, sin embargo nuestra probabilidad de ganar es más baja. Te preguntas porqué?. Si te fijas tienes que meter aún 4 fichas y él prácticamente está a 1 tirada de poder llegar a meta con una sola. Necesitas como mínimo 2 tiradas para meter las 4 fichas, aunque si no consigues sacar un 1, seguirás sin tener opción por seguir teniendo 2 fichas bloqueadas.

Ahora puedes comprender que la probabilidad de ganar depende también de como gestionamos y posicionamos las fichas aparte de la ventaja, y en este caso hubiera sido mejor meter las fichas más adelantadas en meta por prioridad antes de esperar tanto.

Otra técnica para que no se te acumulen fichas en meta, es dejar tus fichas cuando llegan a una distancia 10 de meta, pues si consigues meter una que tengas en zona de meta, las otras van inmediatamente. Simplemente necesitas 1 acierto para meter varias fichas, y eso hace menos probable que se acumulen.

Resumiendo cuando no hay riesgo movemos siempre la ficha más adelantada, pero que pasa cuando si lo hay?.

En este ejemplo ya hemos sacado 2 dobles seguidos y corremos el riesgo de sacar un tercero. Si no tienes una ficha para mover en zona de meta que anule la norma de los 3 dobles, debes elegir que ficha pones en riesgo por si llega el tercer doble. En esta situación la decisión que mejor minimiza el riesgo sin tener en cuenta la estrategia es mover la ficha más retrasada, porque en caso de ser eliminada es la que menos ventaja nos hace perder. Estamos eligiendo en este caso por prioridad la ficha más retrasada.

Aunque puedes pensar que sacar 3 dobles es complicado, y no te equivocas, de hecho tienes 0,46% de posibilidades de sacar 3 dobles antes de que suceda, pero cuando ya han salido 2, sacar un tercero es exactamente igual de fácil que sacar el segundo.

En definitiva la prioridad cuando hay riesgo funciona al revés, y es mejor arriesgar la ficha más retrasada siempre que sea posible y correcto estratégicamente.

Pero si no hay riesgo, ni tampoco estrategia moverás y entrarás en meta con las fichas más adelantadas, para evitar que tipos como miniyo te acaben ganando por despistado

No obstante si el rival es bueno, te impedirá normalmente poder hacer esto forzándote a mover fichas mas retrasadas, para ser él el que mueva las fichas que tiene delante, para controlar la partida. Así que mucho cuidado!.

4.Probabilidades del Parchís

Acabas de ver como el riesgo cambia la prioridad para elegir que ficha mueves, pero a que distancia hay que mover una ficha para que no te maten? Es mejor estar a 2 casillas, a 4 o da igual? Qué piensas?

-Fuera de tiro

Como ya sabes el valor máximo de un dado es 6, y eso hace que la suma de dos dados pueda ser como máximo 12. Por lo que te recomiendo estar a una distancia mayor a 12 si es posible , ya que a más de 12 casillas no pueden matarte de manera directa.

Y que pasa por debajo de 12, todas las distancias son igual de probables?

-A tiro (distancia menor a 12)

La verdad es que no, porque hay casillas que están a tiro directo y otras que no. Estarás de acuerdo que a 6 casillas o menos, cualquiera de los dos dados puede matarte, puesto que un dado llega hasta 6.

En cambio a más de 6 el contrincante necesita la suma de los dos dados para matarte, lo cual es más difícil por probabilidad. Por tanto conviene también más estar a 7 casillas o más de distancia siempre que sea posible.

-A tiro directo (distancia menor a 7)

¿Y que pasa a menos de 7?

incluso a una distancia menor a 7, la probabilidad tampoco es la misma, porque además de matarte de manera directa, puede hacerlo con la suma y no todas las sumas son igual de probables.

Hacerlo de manera directa si tiene la misma probabilidad, porque sacar cualquier valor del dado es igual de probable, es lo mismo sacar un 3 que un 6. Pero ¿crees que es igual de probable sumar un 3 que un 6?

Como puedes deducir podemos sumar 3 únicamente de 2 maneras diferentes, 2-1 y 1-2, en cambio podemos sumar 6 de 4 maneras distintas, por eso la probabilidad de sumar cambia y en este caso es mayor para 6.

¿Pero como calculamos toda la probabilidad?

4.1.Probabilidad de Comer/ser comido

Conocer la probabilidad de que nos maten tanto con la suma, como con el primer dado o el segundo de manera directa es la probabilidad de la unión de los 3 sucesos:

• A: “Que salga el valor con el dado 1”
• B: “Que salga el valor con el dado 2”
• C: “Que salga el valor con la suma de los dados 1 y 2”

Aplicamos la probabilidad para la unión de 3 sucesos:

P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)

y esto se simplifica como P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B) ya que P(A∩C), P(B∩C) y P(A∩B∩C) son 0 ya que la suma de dos dados nunca puede dar el mismo valor que uno de los dos. (al hablar de sucesos A y B, A y C mutuamente excluyentes)

Pero como sé que no tiene porque interesarte, te enseño directamente los resultados:

4.1.1.Probabilidad sin tener en cuenta la siguiente tiradaQue pueden representarse con la siguiente gráfica:

Como ves estar a 6 casillas es donde más probabilidad tienes de que te maten, gracias a que como ya has visto es mas fácil obtenerlo con la suma, y a más te alejas de 6 cada vez más difícil como dedujimos.

En cambio a más te acercas a 1 es más difícil que te maten.  siendo esta la mejor distancia a priori, ya que si lo piensas 1 no puede obtenerse como la suma de dos dados. ¿Era lo que te imaginabas?

El problema es que a una distancia tan cercana existe más riesgo de seguir a tiro en la siguiente tirada y este cálculo no lo está teniendo en cuenta. Por esa razón debemos añadir también la probabilidad que el rival tiene de matarnos en la siguiente tirada si estamos en esa posición.

4.1.2.Probabilidad teniendo en cuenta la siguiente tirada

Actualizando también el gráfico:

*Cálculo simplificado no se tiene en cuenta los dobles

Y como ves la cosa cambia bastante!. Las primeras posiciones tienen bastante más riesgo por culpa de la siguiente tirada, y al final lo peor es la primera posición, porque la probabilidad de que nos maten en la siguiente tirada descompensarse la balanza de la otra probabilidad. Y lo mejor, es poner la ficha a distancia de 4 o 5, que te posiciona más alejados y sin tanta probabilidad de morir como a 6.

¿Nunca pensabas que el parchís pudiera dar para tanto verdad?

4.2.Probabilidad para salvarnos

Ahora ya sabes donde es mejor situarte para que no te maten. Pero cuando ya estas lejos, tienes que pensar más en donde situar tu ficha desprotegida para alcanzar un seguro con mayores posibilidades.

En este ejemplo vemos que situando la ficha en el la casilla 15 optas a salvarla con un 1 o sumando 7 con los dos dados para llegar hasta la 22, lo cual es menos probable. En cambio si tienes la posibilidad de ponerla en la 16, salvas la ficha con un 1 y con un 6, por lo que tienes muchas más probabilidades de poner tu ficha en casilla segura en la siguiente tirada.

y es que estas zonas siempre son mejores para ponerte a salvo.

4.3.Probabilidad en el ataque

Como has visto se pueden evitar riesgos innecesarios para evitar ser comidos, pero cómo se gestiona un ataque?

Pensar en ataque es utilizar la misma información de la tabla pero esta vez al revés, para posicionar tu ficha por detrás, pero buscando esta vez la mayor probabilidad y no la menor. Esto es situarte por detrás a una distancia 6 si vas a repetir turno o sabes que el rival no puede mover esa ficha. Y en caso de que si tenga la capacidad de escapar pues lo más cerca posible, que es 1 si vas por detrás o 0 si está en seguro, porque es donde más probabilidad tienes de comerle en la siguiente tirada si decide moverla, como indica la tabla.

Pero ten cuidado de quedarte sin margen de maniobra con las demás fichas, porque estando tan cerca corres el riesgo de pasarte con los dados y ser tú el que acaba a tiro, ya sea con esa ficha o con la que decidas mover. Por lo que si existe ese riesgo, lo mejor según las matemáticas es estar a una distancia prudencial de 6 casillas donde obtienes un ratio óptimo en cuanto a beneficio-riesgo si tu intención es matar.

5.Parchís online

En el próximo video podrás ver las estrategias de ataque que existen en parchís, y como gestionar las barreras, pero para no hacer muy larga la espera puedes probar estas estrategias jugando a parchís online en diferentes plataformas. Parchís Star, Parchís mundijuegos o Parchís Playspace.

-Parchis Star

Pros: Comunidad muy grande, es gratis.

Contras: Diseño poco llamativo, No tiene partidas turbo. Pocas variantes.

-Parchís Mundijuegos

Pros: Puedes jugar también en website, es gratis.

Contras: Necesita flash player para web, comunidad pequeña.

-Parchís playspace

Parchis playspace (para mi el mejor)

Contras: Algunas personalizaciones son de pago.

Yo suelo jugar al parchís de playspace porque me gusta más su diseño, pero sobretodo porque permite jugar partidas rápidas, que es lo que a mi me gusta, por lo que te dejo un enlace por si te apetece jugarlo.

6.Tutorial práctico de Parchís

Si todo esto te parece demasiado teórico, también te incluyo un pequeño video aprender como jugar a parchís esta con partidas reales y rivales reales. Para que puedas aprender de una manera mas cercana sin tanta teoría.

Contra rivales fáciles:

Contra rivales difíciles:

Espero que te resulte práctico y si quieres mas videos como este de juego en vivo, deja un comentario al final del artículo. Saludos.

The post Las Matemáticas del Parchís – Reglas, Probabilidades y Estrategia first appeared on Math4all.

En este video analizo otros aspectos del Póker más técnicos como son el rango, la posición o el cálculo del EV.

1.Rango
2.Factores de Póker
3.Posición
4.EV
4.1.EV de Call
4.1.1.Calculadora de EV
4.2.EV de All-in
5.Otros Factores
6.Estrategia Preflop
7.Equilibrio

En el último video de las matemáticas del poker vimos un resumen de las reglas del juego, y cuál es la probabilidad de ligar cada mano.

Después vimos las outs y las odds, que son las probabilidades que se utilizan en poker, y aprendimos a calcularlas y a consultarlas con nuestra tabla de odds y outs.

También vimos como podemos aproximar estos valores mentalmente sin necesidad de tablas, y por último aprendimos a utilizar una calculadora de poker, y vimos como se relacionan las odds que calculamos para nuestros proyectos con nuestras probabilidades reales.

En cualquier caso no respondí como calcular nuestras probabilidades cuando no conocemos las cartas de nuestros rivales, y tampoco porque puede ser rentable una mano que tiene pocas probabilidades de ser ligada. Por eso si te quedaste con la duda o simplemente tienes curiosidad por responder a estas preguntas vamos con la segunda parte de las matemáticas del póker.

1.Rango

Como vimos en el anterior video, el Póker es un juego de información incompleta, ya que no conocemos las cartas de nuestros rivales. En consecuencia lo que podemos calcular viene de una estimación de que manos podrían tener, en base a los proyectos que pueden completar con las cartas comunitarias. Pero también conociendo que manos suele jugar con frecuencia o cuales prefiere descartar en ciertas fases del juego.

Algunos jugadores suelen jugar un número muy reducido de manos, porque se sienten más seguros jugando así. En cambio otros más recreacionales prefieren utilizar un número mas amplio. ¿Te has preguntado alguna vez que tipo de jugador eres tú?

La realidad es que todos tenemos un filtro para elegir que manos jugamos y cuales no, que es más o menos grande dependiendo de nuestro estilo de juego.

Pues bien, el grupo de cartas que conforman esa estimación se les conoce como rango y se representa a nivel de software con una matriz donde puedes seleccionar que cartas lo conforman.

Si quieres calcular las probabilidades de tu mano teniéndolo en cuenta, lo que debes hacer es calcular las probabilidades tus cartas frente a ese rango que estimas, eliminando todas esas manos que son imposibles o muy poco probables que el rival esté jugando, dado su perfil o la situación de juego. De esta manera obtendrás un cálculo lo más cercano posible al real con la información que tienes. Por eso a mejor sea la estimación que haces, más preciso será el cálculo de tu probabilidad, y por eso es importante adquirir un conocimiento técnico sobre qué rangos pueden tener nuestros rivales. Pero también es importante conocer nuestro propio rango.

A nivel práctico, te recomiendo un software de trackeo para hacer esto, ya que además de calcular probabilidades con rangos es capaz de analizar el juego de tus rivales y ofrecerte estadísticas personalizadas. Esto lo hace guardando los datos de las partidas que os van enfrentando y de esta manera puedes conocer que número de manos juega voluntariamente, el porcentaje de veces que ha subido en el preflop, o cualquier variable que consideres importante. La estadística de un jugador siempre puede ofrecernos una ventaja a largo plazo para tomar decisiones. Aunque ten en cuenta que esto es solo para Póker online.

DESCARGAR SOFTWARE DE TRACKEO

La verdad es que este software mola mucho, pero mucho. Y ahora que ya has visto como calcular rangos, ¿que más crees que debes tener en cuenta para tomar una decisión?

2.Factores de Póker

Decidir cuando igualar una apuesta, subirla con cierta cantidad o tirar nuestras cartas es lo que determina que tan buenos jugadores somos a largo plazo, pero elegir una u otra depende de muchos factores, así que he elaborado una lista para que puedas verlos:

Algunos dependen solo de nuestra información, y otros de la información que nos proporcionan nuestros rivales. Pero después hay otros que dependen exclusivamente del juego como son por ejemplo el número de jugadores.  A más jugadores hay en una mesa, más probable es que alguno de ellos tenga una mano mas fuerte que la nuestra, al enfrentarnos a más jugadores en promedio por ronda. Por eso debemos adaptar nuestro juego con un rango más exclusivo, y a reducir también el rango que estimamos de nuestros rivales, pues es menos probable ganar con una misma mano cuando existen más manos posibles mejores.

3.Posición

Como vemos hay una gran cantidad de factores, pero no todos tienen la misma importancia.

Uno de los factores considerados más importantes en Póker es la posición, ya que esta se puede utilizar para obtener información extra de tus oponentes, o también para mentir. Si juegas en una posición temprana, no tienes información sobre lo que van a hacer tus rivales, y al no poder descartar ningún jugador estás obligado a jugar un rango más corto de manos. En cambio si juegas en una posición tardía, obtienes información de las apuestas que hacen o de los jugadores que se retiran, por lo que tienes cierta información que puede proporcionarte ventaja y más posibilidades de ganar. Eso hace que cada jugador adopte un juego y un rango diferente dependiendo de su posición y eso lógicamente ofrece resultados diferentes. Pero ¿cuánto de diferentes? Pues bien, se han analizado a 9 jugadores en más de 1000 manos para ver que posición tiene más ventaja, y esto es lo que se ha observado:

Como ya habíamos deducido las últimas posiciones suelen ser las que mas ganancia nos ofrecen, pero curiosamente y en contra de lo que había dicho, las primera posición también tiene un porcentaje bastante alto de victorias. Esto se explica porque muchos jugadores utilizan posiciones tempranas para apostar o subir como si tuvieran una mano fuerte, la tengan o no.

Si hacemos un resumen, vemos efectivamente que una posición tardía es la que más te beneficia, pero la temprana también puede servir para marcarte un buen farol.

Jugar bien al Póker no parece algo sencillo, Hay que se suficientemente bueno para superar las pérdidas del juego e incluso las pérdidas por comisiones. Y con todos estos factores nuestras decisiones dependen de muchas cosas. Entonces, ¿existe alguna fórmula matemática para poder decidir que acción tomamos?

4.Poker EV

Pese a que la posición es un factor muy importante, su influencia disminuye a medida que van quedando menos jugadores, ya que al reducir el número de rivales podemos consecuentemente robar menos fichas. Por lo que cuando quedan solo 2 jugadores en la mesa, que suele ser lo más habitual, la posición deja de ser un factor a tener en cuenta y podemos establecer un método matemático para saber que decisión debemos tomar, básandonos únicamente en el tamaño del bote, el tamaño de las apuestas y nuestras probabilidades.

Para eso se define un nuevo concepto llamado EV que viene de (Expected value o valor esperado) y se basa en el concepto de ganancia a largo plazo. Para saber si una jugada te conviene o no, lo mas inteligente es calcular que ganancia promedio obtendríamos si repitiéramos muchas veces esa misma jugada. Y eso es precisamente lo que calcula el EV, restando la probabilidad de ganar por el beneficio menos la probabilidad de perder por la pérdida. De esta manera puedes saber que rentabilidad tiene por ejemplo igualar una apuesta.

4.1.EV de Call

Cuando el EV es negativo igualar o hacer call no es rentable, pero si es positivo, si es a priori rentable a largo plazo al ser superior al EV de foldear, que es 0. Fíjate que también es posible tener un EV positivo aunque tengas más probabilidad de perder, si el beneficio compensa el riesgo. Ya que puede ser más rentable ganar pocas veces con mucho dinero, que muchas veces con poco dinero. Esto contesta a la pregunta de porque puede ser conveniente apostar con una probabilidad pequeña. He incluido esta calculadora de EV de call por si te interesa calcular el valor esperado de tu posible call.

IR A LA CALCULADORA DE EV

Para calcular el EV mentalmente puedes utilizar las conocidas pot odds, que no son más que la proporción entre lo que ganamos frente a la apuesta que tenemos que hacer, y que se comparan con las odds (que son las veces que perdemos por cada vez que ganamos), Como ambas se calculan con la misma proporción, solo tienes que comparar odds y pot odds para saber si es rentable ir o no a una subida, por lo que esta es una manera práctica de calcular el EV para el juego en vivo.

4.2.EV de All-In

Para saber en cambio si hacer un all-in es rentable, la cosa cambia, ya que es importante tener en cuenta la respuesta de nuestro rival, que puede ser ir o foldear en base a la cantidad que apostemos, por lo que el EV en este caso también incluye la probabilidad estimada de que suceda una acción o la otra, y se puede calcular de esta manera.

Que es básicamente la EV de foldear más la EV de hacer call

Existen bastantes fórmulas para determinar nuestras acciones, como por ejemplo la apuesta mínima que tienes que hacer para quitarle las odds necesarias al rival para perseguir su proyecto y otras muchas que podéis buscar por internet:

AM = (Outs x P)/(50 – 2 x Outs)

5.Otros factores

La verdad es que aunque estas fórmulas son útiles, hay otros factores que también pueden influir a la hora de tomar una decisión:

-Uno de ellos es el coste de confrontación. Si tienes una jugada rentable pero pocas fichas y no tienes la posibilidad de recompra o simplemente juegas a corto plazo, puede no ser inteligente igualar o hacer all-in si el hecho hacerlo puede tener un coste de confrontación de perder todas o una gran cantidad fichas, en comparación al de no enfrentarte (especialmente cuando nuestra probabilidad de ganar es baja), por lo que en en modalidades como la de torneo, también es importante evaluar nuestras decisiones en base a las fichas que tenemos y las de nuestros rivales. Un modelo matemático que tiene en cuenta esto es el modelo ICM, que se usa especialmente para la fases burbuja de torneos.

-Otro factor considerado el más importante para cambiar esas decisiones es el conocimiento de tus rivales, que puede servir para adaptar y explotar su metajuego lo máximo posible, aumentando o disminuyendo el tamaño de apuesta, la cantidad que tenemos que pagar a ciertos rivales, o simplemente para evitar o incentivar ciertos enfrentamientos, que nos pueden dan ventaja.

No parece fácil decidir con tantas cosas, por lo que la experiencia también juega un papel fundamental para ser un buen jugador, aunque ¿realmente somos capaces de aprender todas las situaciones de Póker?

6.Estrategia Preflop (Heads Up)

Solo en el Texas Holdem para 2 jugadores existen 10^161 decisiones diferentes posibles, lo cual es más que todos los átomos que forman el universo. Esto hace que sea imposible para un humano aprender cual es la decisión más ventajosa para toda esa inmensidad de situaciones. Aunque como seguramente has pensado, si existen programas donde puedes consultar cómo actuar ante la mayoría de casuísticas posibles para mejorar tu estrategia. Estos procesan millones de manos en base a explotarse a si mismos, y nos ofrecen las acciones más rentables a nivel estadístico, que puedes utilizar para adaptar a tu juego y explotar a tus rivales, por lo que hoy en día para ser un buen jugador también es importante saber interpretar correctamente datos estadísticos.

DESCARGAR PROGRAMA DE CONSULTA ESTADÍSTICA

Una de las decisiones mas importantes que debemos tomar en el Póker, es como jugar nuestra mano en el preflop o heads up, ya que eso nos condiciona mucho durante las siguientes rondas de apuestas, por eso es importante tener una estrategia previa bien definida que puedas consultar. Por eso he incluido una serie de tablas basadas en el estudio de estos programas hechas por un jugador profesional (Zeros) y que podrían ser de ayuda si las tienes a mano durante el juego. En ellas tienes el plan de acciones basado en la rentabilidad óptima para cualquier situación concreta en el preflop, que puede ser muy útil para Póker online, por lo que si te interesa, tienes un enlace en la descripción, junto con el enlace a estos programas que he comentado por si deseas consultar otra situación. (Y no es que quiera que juegues a Póker pero si lo haces, hazlo bien).

DESCARGAR TABLA PREFLOP

Ahora que ya has visto que el Póker es un juego muy matemático, surge la pregunta más importante de todas, ¿es posible jugar al Póker de manera perfecta? Vamos a verlo:

7.Equilibrio de Nash

En 1951 un tal John Forbes Nash mas conocido como John Nash elaboró una tesis doctoral demostrando que cualquier juego con un número finito de estrategias mixtas tiene almenos un equilibrio de Nash. Este equilibrio se da cuando todos los jugadores han elegido de la mejor manera posible y ninguno de ellos puede mejorar su estrategia por mucho la cambie, siempre y cuando los demás mantengan la suya. Este equilibrio nos asegura que en un juego de suma 0 como el Póker, nunca perderemos a largo plazo.

¿Y esto cómo es posible?

La búsqueda de este equilibrio no es sencilla, pues debemos encontrar una combinación óptima que satisfaga a todos los jugadores de entre muchas posibles, lo cual sumado a la cantidad de decisiones que puede haber lo convierte en todo un reto computacional. Encontrar un equilibrio en el heads up es menos difícil pero en el River es mucho más complicado. (Para entender esto, intenta imaginar todas las situaciones que pueden darse en esta fase del juego)

Al haber tanta casuística posible, es demasiado costoso computar una estrategia para cada mano o tamaño de apuesta, por lo que los científicos han optado por abstraer el juego completo a una versión mas simplificada en cuanto a valores y tamaños de apuesta, que permite la búsqueda de un equilibrio de manera más eficiente, y que aproxima de una manera muy precisa al juego completo mediante un conjunto de algoritmos. Utilizando inteligentemente el cálculo de este equilibrio, han construido una Inteligencia artificial que juega al póker para dos jugadores de una manera prácticamente perfecta.

En 2017 el software Libratus consiguió vencer por primera vez a los mejores jugadores profesionales de Póker del mundo con una ventaja estadística significativa, lo cual es un hecho histórico para juegos de información incompleta. Y todo ello gracias a las matemáticas.

Por suerte o por desgracia el equilibrio de Nash solo es posible para 2 jugadores, dado que si es posible perder en expectativa a largo plazo en Póker de 3 jugadores o más, especialmente si un grupo de ellos se compenetra para eliminar a otro. Y es que aunque se calcule un equilibrio para los tres jugadores, esa combinación no tiene porqué ser un equilibrio de Nash en sí mismo. En consecuencia si juegas Póker online con más de dos personas, no debes preocuparte de momento, porque su futuro está asegurado, aunque, ¿quién sabe hasta cuando?

The post Las Matemáticas del Póker – Rango, Posición y EV first appeared on Math4all.

¿Crees que las matemáticas son importantes en el Póker?. En este artículo analizaré el Poker a nivel matemático para que sepas como calcular tus probabilidades, analizar tus acciones, o como las matemáticas pueden convertirte en un mejor jugador.

1.Reglas del Póker Texas Holdem
2.Manos del Póker Texas Holdem
3.Acciones de Póker Texas Holdem
4.Probabilidades de Póker Texas Holdem
5.Póker como juego de información incompleta e imperfecta
6.Odds y Outs
7.Calculadora de Póker Texas Holdem

1.Reglas del Póker Texas Holdem

El poker Texas hold’em sin límites es un juego de baraja francesa de hasta 23 jugadores simultáneos, donde el objetivo es eliminar a todos los jugadores de la mesa, para ganar todas sus fichas, o simplemente ganar el máximo dinero posible en la modalidad de cash. Para esto se reparten 2 cartas no visibles a cada jugador, y estos decidirán por turnos y en base a sus cartas, si quieren apostar, pasar, retirarse, igualar o subir la apuesta.

Una vez que todos los jugadores han tomado una decisión, el dealer o repartidor saca 3 cartas visibles de flop, que son utilizadas por cada jugador para ligar sus cartas con el objetivo de conseguir la mejor mano posible, y se procede a una nueva ronda de apuestas. 

A medida que el repartidor destapa una nueva carta, se repite el mismo procedimiento hasta tener finalmente 5 cartas destapadas. Por último, los jugadores que todavía quedan en la mesa enseñan sus cartas y se da como ganador del bote o pot al jugador que tiene la mejor mano. Los jugadores deberán así usar sus conocimientos y su estrategia, para tomar las mejores decisiones que les permitan ganar.

2.Manos de Póker Texas Holdem

• Pareja: En primer lugar, tenemos la pareja, que es la mano mas básica del poker formada por 2 cartas de palos diferentes que tienen el mismo valor. Si ambos jugadores tienen una pareja, gana la que tenga el valor mas alto, y si ese valor es el mismo, gana el jugador que tenga la carta mas alta. La pareja es la mano menos valiosa que se puede ligar.

• Doble pareja: La doble pareja se compone de 2 parejas distintas junto a otra carta cualquiera. Si ambos jugadores tienen doble pareja, gana la mano con la pareja mas alta, y en caso de empate la carta no emparejada con el valor mas alto, es la que decide.

• Trio: Como su propio nombre indica, el trio son 3 cartas de diferente palo con el mismo valor, junto con 2 cartas cualquiesquiera. En caso de que ambos jugadores tengan un trio, ganará el que tenga el valor más alto. Fijaros que en esta modalidad de Poker no puede existir 2 trios de un mismo valor, ya que solo hay 4 palos posibles y con uno ya se reúnen 3.

• Escalera: La escalera se compone de 5 cartas consecutivas del mismo palo o de palos diferentes, por lo que pueden ordenarse todos los valores de uno en uno de menor a mayor. Dependiendo del número con el que empiece la escalera tendremos una escalera mas alta o mas baja, por lo que en caso de empate ganará siempre la que tenga valores mas altos.

• Color: Son 5 cartas del mismo palo sin importar su valor, Hay que matizar que en poker cuando hablamos de color, nos referimos al mismo palo, y no al mismo color. En caso de empate gana el color que tenga la carta más alta.

• Full/Full house: Reúne 3 cartas de un mismo valor y 2 cartas de otro, o lo que es lo mismo un trio y una pareja simultáneos. Cuando dos jugadores tengan un full, ganará el valor del trio mas alto.

• Póker: Es es la jugada que da nombre al juego y se compone de cuarteto formado por 4 cartas de palos diferentes que tienen el mismo valor, junto a una carta cualquiera. En caso de empate el valor de esa carta decide el ganador. Aunque esta sea la mano más popular, no es la más valiosa.

• Escalera de color: Como su propio nombre indica es una escalera compuesta por todas las cartas bajas de un mismo palo, lo cual la convierte en una jugada bastante improbable. Cuando dos jugadores tienen escalera de color ganará la escalera que tenga los valores más altos.

• Escalera real/Flor imperial: Es la mejor jugada del poker y está compuesta por todas las cartas altas de un mismo palo que son 10,J,Q,K y As. En caso de haber 2 manos simultáneas como esta, ninguno de los los jugadores ganaría, aunque si lo pensáis es casi imposible que se den 2 escaleras reales simultáneas.

• Todas las jugadas que habéis visto están ordenadas por ranking de menos a más, por lo que ya sabéis también quien ganaría cuando se enfrentan dos manos diferentes. En el caso de que ningún jugador consiga formar ninguna de estas manos, gana simplemente el que tiene la carta más alta, y en caso hipotético de tener la misma, gana el que tiene el que tiene la siguiente carta más alta.

3.Acciones de Póker Texas Holdem

Ahora que ya has visto todas las jugadas y su /jerarquía prioridad, vamos a repasar que acciones puedes tomar dentro la ronda de apuestas, así que no te lo pierdas!

• Apostar: Las apuestas se hacen por turnos en el sentido horario de las agujas del reloj, y los jugadores que apuestan después, deben igualar la cantidad (call) apostada como mínimo para mantenerse en la mano. Pero también puedes subir la apuesta (raise) si quieres obligar a los otros jugadores a mantenerse en la mano, y si lo haces estos deberán igualar de nuevo la cantidad hasta igualar esa subida. (Es como un tira y afloja).

• Apostar All-in: Cuando el jugador apuesta en una mano todas sus fichas, se dice que va all-in, y (si otro jugador apuesta una cantidad mas grande),  se crea un bote separado en el que el jugador no está. Si mas de un jugador hace all in en la misma mano se acumulan distintos botes. Para ir all se necesitas tener un buen presentimiento ya que te arriesgas a perder todas tus fichas.

• Apostar ciegas: En la modalidad hold’em hay dos jugadores obligados a apostar una cantidad mínima a principio de cada ronda, que son las ciegas. Estas van cambiando de jugador en cada mano, con el objetivo de que todos tengan pérdidas equitativas/la mismas pérdidas al final. La ciega grande es equivalente a la apuesta mínima de esa ronda y la ciega pequeña normalmente es la mitad de la grande, pero esto puede cambiar. Estas ciegas se asignan consecutivamente a la izquierda del dealer, primero la pequeña y después la grande, y tienen como objetivo forzar a los jugadores que quieren entrar en la mano con una cantidad mínima. En los torneos las ciegas va aumentando de cantidad para acelerar la velocidad de las partidas.

• Pasar (check): Cuando ningún jugador ha realizado ninguna apuesta en esa ronda o ya se ha igualado la cantidad apostada, puedes optar por pasar o “hacer check” (en inglés), si consideras que no es necesario abrir o subir la apuesta con tus cartas. Esto te permite seguir en la mano, sin realizar ninguna apuesta extra.

• Retirarse: El jugador siempre tiene la opción de retirarse si considera que no tiene opciones en esa mano, y perderá sus cartas y la cantidad que tenía apostada hasta ese momento, sin posibilidad de volver a entrar.

Ya has visto que acciones puedes tomar, y que manos hay, pero que posibilidades crees que tienes de ligar alguna? Piensas que es fácil conseguir una escalera o un Póker?

4.Probabilidades de Póker Texas Holdem

Vamos a calcular las probabilidades de ligar un Póker. Para ligar esta jugada necesitas 4 cartas del mismo valor de entre 5 cartas que se reparten. Esto es: Las maneras que tienes de obtener 4 cartas iguales (con 1 valor posible de 13 y 4 palos posibles de 4) por las maneras de obtener otra carta que no sea de ese valor,  (con 1 valor posible de los 12 restantes que quedan, y lógicamente 1 palo de 4). Lo que en realidad calcula para ambas, son las maneras de seleccionar los valores por las maneras de seleccionar los palos.

Esto nos da exactamente  624 maneras totales posibles de hacer Póker de entre todas combinaciones que puedes hacer, pero cuantas són?

Si tenemos en cuenta que una baraja francesa tiene 52 cartas y debes seleccionar 5 cartas, el número total de posibilidades son todas las combinaciones posibles de 52 elementos cogidos de 5 en 5 ya que si lo piensas detenidamente (y no como en este video) no importa el orden y no se pueden repetir. (pero esto mejor lo pensáis vosotros)

Este cálculo nos indica que la probabilidad de ligar un Póker antes de destapar ninguna carta es aproximadamente de un 0,02%, lo cual significa que tienes muy pocas posibilidades a priori de ligarlo al ser una mano muy poco probable. Pero cual crees que son las probabilidades de las otras manos?

Como ves las manos importantes como el Póker o el Full, son las más difíciles de conseguir, y viceversa, las manos menos importantes son mucho más fáciles y probables, lo cual tiene lógica. Fíjate también que la única jugada a la que puedes aspirar frecuentemente es una pareja, ya que jugadas como el trio, el color o incluso la doble pareja son bastante complicadas de conseguir.

Lo más importante, es que ninguna jugada llega al 50%, y tan siquiera la suma de todas consigue el 50%, lo que significa que la mayoría de veces no vas a ligar nada, aunque esto te da algunas pistas de como abordar el juego. Era esto lo que os imaginabas?

Ya has visto que conseguir una buena mano no es nada fácil, entonces lo que tendrás normalmente serán cartas que pueden conformar una mano con las cartas que quedan por destapar, o lo que es lo mismo un proyecto de mano, Este podrá completarse o no con cierta probabilidad. Pero como se calcula?

5.Póker como juego de información incompleta e imperfecta

Si alguna vez has visto un torneo de Póker en televisión, recordarás seguramente un porcentaje que se muestra al lado de las cartas de cada jugador. Esto no es más que la probabilidad que tiene cada uno de ganar y se basa tanto en sus cartas como en las del resto de jugadores, incluyendo las cartas comunitarias. Si lo pensamos bien, este cálculo solo es posible porque la televisión conoce las cartas de todos y cada uno de ellos, por lo que solo nosotros podemos ver qué probabilidades reales tienen y quien está jugando mejor.

Si los jugadores pudiesen conocer la mano de sus rivales, no tendrían dificultad alguna para jugar al poder calcular estas probabilidades de manera exacta, pero lamentablemente esto no es posible, porque no conocemos que cartas tienen, por eso se considera al Póker un juego de información incompleta e imperfecta. En consecuencia los jugadores tienen que intentar recoger toda la información posible, para calcular algo que se aproxime lo máximo posible a esas probabilidades.

6.Odds y Outs

Para esto debemos introducir dos conceptos matemáticos que se utilizan en el mundo del Póker que son las odds y las outs, y que sirven para calcular las probabilidades de completar un proyecto o proyectos.

Imagina que tienes un proyecto de color en el turn y quieres calcular las probabilidades de poder completarlo en la última ronda de apuestas.

Para conseguir tu proyecto con la siguiente carta necesitas una que sea del mismo palo. Como un palo tiene 13 cartas y ya han salido 4 de ellas, tan solo quedan 9 cartas de la baraja que te servirían para completar tu color, y esto da un total de 9 outs.

Si queremos calcular las probabilidades para esas 9 outs, lo que haremos será calcular las odds, que es la probabilidad que se utiliza en el Póker y que a diferencia de la habitual, donde se calculan casos favorables entre posibles, aquí se calculan los desfavorables entre los favorables. Y porque así? Porque normalmente tenemos mas probabilidades de no ligar nuestro proyecto que de ligarlo, pero esto lo verás más adelante.

Los casos favorables son precisamente las outs y los desfavorables son todos los casos posibles menos los favorables (es decir todos menos las outs). Por último los posibles son la cantidad de cartas que quedan por mostrarse, que calculamos restando a las 52 cartas totales de la baraja, las que ya han sido destapadas incluyendo también las de los rivales. Si haces el cálculo para tus 9 outs, obtendrás unas odds de 4,11, o dicho de otra manera, por cada vez que ganes perderás 4,11 veces, lo que equivale a un 19,57% de probabilidades de ligar el color con la última carta por destapar. ¿Que te parece?

Calcular todo esto no es algo muy práctico, por eso he creado una tabla, donde puedes consultar que probabilidades tienes con las outs de tu proyecto o proyectos.

Si echas un vistazo puedes ver la tabla se compone básicamente de 3 columnas, que son las probabilidades que se pueden calcular en las etapas de flop y turn ordenadas de izquierda a derecha, donde nos interesan principalmente la primera y la última.

Si queremos queremos consultar nuestro proyecto de color con 9 outs en el turn vemos el mismo 4,11 que habíamos calculado por nuestra cuenta.

DESCARGAR TABLA POKER ODDS OUTS

Con estas tablas puedes observar cosas interesantes, como que un proyecto de color tiene mas probabilidades que cualquiera de escalera, o que un proyecto de escalera tiene mas probabilidades si puede completarse por dos puntas en lugar de una.

Fíjate también que cualquier proyecto que incluya 2 jugadas simultáneas (como un proyecto de escalera y color al mismo tiempo) siempre va ser más probable que cualquiera de esos dos proyectos por separado. Ya que al poder ser completado de cualquiera de las dos maneras, acepta un número mayor de outs. Curioso verdad?

Otro detalle importante es que casi nunca tendrás más de un 50% de probabilidades, lo cual indica como dije antes que la mayoría de veces no vas a ligar tu proyecto. (Aunque no tires la toalla todavía)

A nivel práctico, puedes calcular todo esto, sin necesidad de tablas, con la regla del 4 y la regla del 2 (multiplicando por 4 en el flop a turn y river y por 2 en el turn). Estas reglas proporcionan un valor bastante cercano y pueden ser útiles cuando no dispongamos de nada a mano. Si las usas para tu proyecto de color, tienes que para tus 9 outs en el turn son (9 x 2 = 18%) lo que se acerca bastante al 19,57% que marca la tabla. Esto puede ser suficiente para muchos jugadores, aunque hay otras reglas parecidas para aproximar estos valores. También existen distintas variantes de odds por si te interesa el tema.

Después de ver todo esto podrías hacerte las siguientes preguntas:

• Si normalmente tenemos una probabilidad pequeña, ¿qué sentido tiene apostar?, ¿no deberíamos de hacerlo solo cuando tenemos una mayoría de posibilidades?

• Aunque estemos calculando las odds para nuestro proyecto, ¿no puede el rival ganarnos con un proyecto superior? O dicho de otra manera ¿cuánta diferencia hay entre calcular nuestras odds y las probabilidades reales?

7.Calculadora de Póker Texas Holdem

Para resolver tus dudas he creado una Calculadora de Póker donde vamos a experimentar un poco con todos estos conceptos.

Con ella puedes ver que una simple pareja de 77’s tiene más probabilidades frente a un as, k, o que un un proyecto de escalera y color tiene más probabilidades que una flamante pareja de reyes en el flop.

También puedes ver que una pareja con valores bajos como 66 tampoco es tan buena mano, ya que puede ser superada fácilmente por cualquier pareja más alta. Puedes consultar cualquier jugada que necesites.

IR A LA CALCULADORA DE POKER

Ahora vamos a crear con nuestra calculadora de Póker tu proyecto de color. Y vamos a suponer que tu rival aspira a un proyecto inferior con una pareja ligada de J’s. Apretamos el botón para calcular el resultado y vemos que tus probabilidades de ganar contra sus cartas son del 20% lo cual es bastante parecido a lo que habíamos calculado.

Puede parecer que las odds son suficientes para conocer a ciencia cierta nuestras probabilidades. Pero imagina que las cartas permitieran a tu rival tener proyecto superior como Póker o Full. Si calculamos de nuevo tus probabilidades para esta posible situación, vemos que el cálculo ya no se ajusta a las odds. Esto ocurre porque antes, tu probabilidad de ganar dependía únicamente de que ligáses o no tu proyecto, pero ahora también también dependes de que el rival consiga o no un proyecto superior, lo cual disminuye tus opciones al poder ser superado con una mano mejor que el color.

La cosa se va poniendo interesante…

Fíjate que el detalle más importante es que aunque el cálculo es diferente, no es una diferencia demasiado grande, porque sigue siendo más difícil ligar un Full o Póker que un color. Lo que te indica que a más fuerte sea tu proyecto de mano, mas fiables serán tus odds en promedio, ya que será más difícil que exista otro proyecto que pueda modificarlas. Depender más de nosotros mismos nos aporta una información más completa, y debemos aprovecharla.

Pero en la práctica es fácil que tus oponentes puedan tener cartas mejores que tú, especialmente cuando hay muchos jugadores en la mesa o se hacen grandes apuestas, por eso debes tener también siempre presentes los posibles proyectos o manos que tus rivales pueden tener con las cartas comunitarias, sobretodo cuando se apueste una gran cantidad de dinero.

Cuando tu mano ligada sea superior a todas esas posibles, tu victoria estará asegurada, pero cuando tengas únicamente un proyecto y tampoco pueda haber manos superiores con las cartas que quedan por destapar, tus probabilidades reales serán como mínimo tus odds (probabilidad calculada).

The post Las Matemáticas del Póker – Odds y outs first appeared on Math4all.

Bienvenidos a uno de los problemas mas curiosos de las matemáticas, el problema de Monty Hall.

1.Descripción del problema
2.Análisis intuitivo
3.Simulador de Monty Hall
4.Análisis matemático
 4.1.Análisis matemático con probabilidad condicional
5.Solución intuitiva
6.Explicación
7.Conclusiones

1.Descripción del problema

Imaginad que estáis en un concurso y que yo soy el presentador

Detrás de una de estas 3 puertas hay un coche nuevo. Y detrás de las otras dos hay cabras (si cabras!!).

Tenéis que elegir una puerta y vamos a suponer que para ejemplo que elegís la puerta 1 (recordad que tenéis que ganar el coche nuevo y no una cabra…)

Yo que puedo ver lo que hay detrás de cada puerta descarto una de las puertas que tiene una cabra, abriendo la número 3 en este caso, y ahora os hago la siguiente pregunta, ¿quieres cambiar la puerta 1 por la 2?, o lo mas importante para el objetivo de este video, ¿crees que eso importa?

El problema de Monty Hall es uno de los problemas más famosos de probabilidad y viene del concurso televisivo de los 70 Let’s Make a Deal. El nombre hace referencia a su famoso presentador, y a su conocido juego de las 3 puertas. Donde se escondía un coche entre una de ellas, y el concursante debía elegir una puerta. Tras descartar otra de las puertas, Monty Hall preguntaba al concursante si quería cambiar de puerta o quedarse la que había elegido. Y es aquí donde empieza el verdadero juego.

2.Análisis intuitivo

Estoy seguro que muchos de vosotros pensáis que no existe diferencia entre quedaros la puerta o cambiarla. Si quedan dos puertas y un coche, cualquiera de las dos opciones es lo mismo ya que si cambiáis la puerta podéis ganar o perder el coche y si no la cambiáis también podéis ganar o perder, lo cual deja a cada puerta con un 50% de probabilidad. Pero, es eso cierto?

Vuestra intuición puede deciros que si, pero creéis que vuestra intuición ha analizado el problema correctamente, ¿crees que puedes confiar en tu instinto?

3.Simulador Monty Hall

Para salir de dudas he creado un simulador que recrea las reglas de este juego y vamos a ver que resultados nos ofrece para ambas elecciones, así que, no os lo perdáis:

Este hace exactamente lo que hemos descrito, así vamos empezamos a jugar y nos pide elegir una puerta, la elegimos y el presentador nos abre otra puerta donde no está el coche. Después nos hace elegir entre cambiar de puerta o quedárnosla.

Quedándonos siempre la puerta:

Vamos a probar primero quedarnos la puerta que hemos elegido, así que jugamos muchas partidas al simulador, y llegamos a la conclusión de que ganamos el coche aproximadamente un 30% de las veces que hemos jugado (que nos muestra el porcentaje de éxito).

Cambiando siempre la puerta:

Si en cambio elegimos cambiar nuestra puerta por la otra, y repetimos esto muchas veces en el simulador, llegamos a la conclusión de que esta vez ganamos el coche aproximadamente un 60% de las veces. Lo cual hace que ambos resultados sean muy diferentes.

¿No te lo crees? Pruébalo tu mismo

JUGAR A MONTY HALL

Pensábamos que daría igual, pero hemos visto que cambiar de puerta nos hace ganadores en un porcentaje superior que quedarnos la puerta que teníamos, y parece ser bastante superior. Entonces ¿qué está pasando?

4.Análisis Matemático

Si analizamos el problema a nivel matemático nos daremos cuenta que esto es un problema simple de probabilidad, donde todos los posibles resultados del experimento de elegir una puerta son 3:

elegir coche, elegir una cabra, o elegir la otra cabra.

Los sucesos que necesitamos para resolver el problema son:

G: “Ganar el coche sin cambiar de puerta”

G’: “Ganar el coche cambiando de puerta”

Vamos a estudiar la probabilidad de cada suceso por separado:

Sin cambiar de Puerta

Así que vamos a empezar por no cambiar de puerta.

Si el concursante elige el coche, y no cambia la puerta, ganará el coche seguro, porque aguantará su puerta hasta el final.

De la misma manera si el concursante elige una cabra, y no cambia la puerta, nunca podrá ganar el coche.

Como hay 1 solo caso donde gana de 3 elecciones posibles, la probabilidad de ganar el coche si no cambia de puerta es de 1/3. Lo cual es aproximadamente un 33,33% de posibilidades de ganar. Eso es 1 de cada 3 veces, lo que os deja en desventaja para poder ganar el coche.

Vamos a ver ahora cual es la probabilidad si decide cambiar de puerta:

Cambiando de Puerta

Si el concursante elige el coche, y cambia la puerta, ya nunca podrá ganarlo ya que siempre lo cambiará por una cabra. No parece un buen comienzo.

En cambio fijaros que si elige una cabra, el presentador siempre le enseña la otra cabra. Esto descarta automáticamente una de las cabras, lo que implica que el concursante va a cambiar obligatoriamente la cabra que tiene por el coche. Como hay 2 cabras como posibles elecciones ganaremos el coche dos de cada 3 veces por lo que la probabilidad de ganar el coche cambiando de puertas de 2/3. Lo cual duplica las probabilidades de un 33,33 a un 66,66%. Esto nos da una mayor ventaja de ganar el coche.

4.1.Análisis Matemático con Probabilidad Condicional

Los sucesos que necesitamos para resolver el problema son:

A: El concursante elija la puerta donde está el coche”

B: “El concursante elija la puerta donde hay una cabra”

Y por último el suceso que estamos buscando que es:

G: “Que el concursante gane el coche”

La probabilidad de elegir la puerta con el coche como véis es 1 entre 3, y la de elegir la puerta con una cabra es 2/3 , pero, ¿cual es la probabilidad de ganar?

P(A)=1/3

P(B)=2/3

P(G)=?

Para ganar podemos hacerlo de cualquiera de las dos maneras. Elegir el coche y ganar o elegir una cabra y ganar, por tanto

P(G)= P((A y G) ó (B y G))

Lo que traducido al lenguaje matemático sería:

P(G)=P((A∩G) ∪ (B∩G))      (Simplemente tenéis que cambiar los símbolos de y por intersección y la o por unión)

Pues bien la probabilidad de una unión es la suma de probabilidades por lo que podemos separar la probabilidad en 2 más sencillas

P(G)=P(A∩G) + P(B∩G)

Si utilizamos la fórmula de la probabilidad condicionada y despejamos la intersección nos queda:

P(G)=P(G|A)·P(A) + P(G|B)·P(B)

Ahora solo tenemos que calcular la probabilidad de ganar para cada estrategia:

Probabilidad sin cambiar de Puerta

Si hemos decidido quedarnos con la puerta que teníamos:

En el caso de tener un coche, habremos ganado seguro, ya que no lo vamos a cambiar, por lo que la probabilidad condicionada a ese suceso A, será del 100% o 1

P(G|A)=1

Pero esto solo sucederá cuando tengamos un coche y tenemos 1/3 de probabilidades de elegirlo, por lo que la probabilidad de elegir el coche y ganar es de 1·1/3 que es 1/3

P(A)=1/3

P(A∩G)=P(G|A)·P(A)=1·1/3=1/3

En el caso de tener una cabra, si nos quedamos la puerta nunca vamos a ganar por lo que la probabilidad condicionada al suceso será 0, y al multiplicarlo por las probabilidades de tener una cabra sigue siendo 0, lo cual es lógico si ya vemos que es imposible elegir la cabra y ganar el coche desde el principio.

P(G|B)=0

P(B)=2/3

P(B∩G)=P(G|B)·P(B)=0·2/3=0

Si sumamos ambas cantidades tenemos que la probabilidad de ganar si nos quedamos la puerta es de 1/3.

P(G)=P(A∩G) + P(B∩G)=1/3 + 0=1/3

Esto podemos resumirlo como (Coche,Cabra,Cabra)

Probabilidad cambiando de Puerta

Vamos ahora a elegir cambiar de puerta siempre:

En el caso de tener un coche, perdemos el coche seguro, ya que lo vamos a cambiar por una cabra, por lo que la probabilidad condicionada a ese suceso A, será 0

P(G|A)=0

Y la probabilidad de coger el coche y ganar será 0.

P(A)=1/3

P(A∩G)=P(G|A)·P(A)=0·1/3=0

Si en cambio elegimos una cabra, fijaros que el presentador siempre nos elimina la otra cabra, por lo que solo quedará el coche cuando cambiemos de puerta, por lo que ganaremos siempre el coche.

P(G|B)=1

Esto sucederá solamente cuando tengamos una cabra, pero hay que tener en cuenta que la probabilidad de elegir una cabra es 2/3, por lo que la probabilidad de tener una cabra y ganar es de 1·2/3 que es 2/3

P(B)=2/3

P(B∩G)=P(G|B)·P(B)=1·2/3=2/3

Si sumamos ambas cantidades tenemos que la probabilidad de ganar si cambiamos de puerta es de 2/3

P(G)=P(A∩G) + P(B∩G)=0 + 2/3=2/3

Esto podemos resumirlo como (Cabra,Coche,Coche)

5.Solución intuitiva

Si no cambiamos de puerta vemos claro que al haber dos cabras y un coche tenemos 1/3 de posibilidades de ganar el coche.

Si cambiamos de puerta:

• y elegimos el coche siempre perdemos.
• y elegimos una cabra siempre ganamos.

Pero como hay 1 coche y 2 cabras, ganaremos en 2 ocasiones de 3, porque 2 de cada 3 veces elegiremos una cabra.

6.Explicación

Para esto vamos a imaginar de nuevo todos los posibles casos que pueden darse para las 3 puertas. (Fijaros que no diferenciamos el orden de las cabras, ya que eso duplica el numero de casos, pero no cambia la probabilidad)

Cuando elegimos nuestra puerta, tenemos 1/3 de probabilidades de tener el coche. Aunque el presentador abra una puerta, está condicionado por la que nosotros hemos elegido, ya que solo puede abrir una puerta que no sea la nuestra. Eso implica que siempre elimina una cabra de las otras dos puertas, pero nunca de la nuestra.

Fijaros además que en esas 2 puertas siempre hay una cabra para poder eliminar, por lo que el presentador solo descarta una cabra que era segura y nos enseña donde está, pero eso no aumenta las probabilidades de nuestra puerta, ya que nosotros podemos seguir teniendo la otra cabra las mismas veces veces. Esto implica que la puerta que elegimos al principio seguirá teniendo el coche 1 de cada 3 veces y no aumentará sus probabilidades, por mucho que quitemos una puerta.

Sorprendente, que no cambie, pero entonces ¿qué pasa con la otra puerta?

Si nuestra puerta tiene el coche 1 de cada 3 veces, las otras 2 veces estará en las otras dos puertas, por lo que ese grupo de 2 tiene lógicamente mas probabilidades de tener el coche que nuestra puerta. Simplemente tenemos que sumar la probabilidad de cada una.

Cuando el presentador abre una puerta, sabe lo que hay detrás de cada una, por lo que siempre salva el coche en caso de tenerlo. Si las dos puertas tienen el coche 2 de cada 3 veces y siempre descarta una cabra, la puerta que se salve seguirá teniendo el coche 2 de cada 3 veces, por lo que su probabilidad será la misma que tenían ambas puertas pero repartida en una. Por eso debéis cambiarla por esta.

Fijaros también que esta puerta no siempre será la misma y por eso tiene más probabilidad.

Y dicho esto, ¿estás seguro que no quieres cambiar de puerta?

Ampliación de la idea

Imaginaros ahora el mismo juego pero con 20 puertas en lugar de 3. Seguimos eligiendo 1 puerta, y el presentador elimina de la misma manera las puertas que son cabra hasta quedarse con una.

Si olvidamos por un momento nuestra puerta, y pensamos solamente en las 19 que puede eliminar el presentador. Veremos muy claro que 19 puertas tienen mucha más probabilidad que una, por lo que el coche estará la mayoría de veces en una de las puertas que tiene el presentador y solamente una en nuestra puerta. Y si este elimina todas las puertas que son cabra de ese grupo, la puerta que le quede tendrá el coche la mayoría de veces, de la misma manera.

7.Conclusiones

En conclusión el presentador solo elimina cabras de sus puertas, y eso solo puede darle ventaja a alguna sus puertas, pero nunca a la nuestra.

Como hemos visto al final tampoco era tan complicado, pero, ¿por qué no hemos sido capaces de verlo antes?

Al principio el coche puede estar por igual en cualquiera de las puertas, por eso dividimos 1 premio entre 3 puertas, y así calculamos la probabilidad para nuestra puerta. Hasta aquí es correcto.

El problema viene cuando nos abren una puerta.

Cuando el presentador nos da la opción de quedarnos con nuestra puerta o cambiarla, debemos calcular de nuevo la probabilidad de cada puerta para saber cual nos conviene más. Para esto dividimos de la misma manera que antes 1 premio entre 2 puertas, como si el premio pudiera estar por igual en cada una de ellas, pero esto no es así, ya que el descarte que hace el presentador, aumenta solo la probabilidad de una de las puertas y no de las dos por igual. Por eso el cálculo es incorrecto. (66%>33%)

Fijaros que la única manera de tener un 50% de probabilidades de ganar, es elegir cambiar de puerta o no al azar, ya que en este caso aunque una puerta sea mas probable, tenemos las mismas opciones de elegirla que la otra, por lo que las veces que cambiemos de puerta, compensará las veces que no lo hagamos. De todas maneras esto sigue siendo menos que cambiar siempre de puerta, aunque más que quedarnos siempre la puerta. (66%>50%>33%)

¿Curioso verdad?

Ahora sabemos que Monty Hall era un tipo muy astuto, al utilizar la psicología y las matemáticas. Si el concursante no cambiaba de puerta, tenía las de perder, y para tener ventaja tenía que arriesgarse y aceptar el cambio. 

La realidad es que la mayoría de concursantes perdían el coche, porque muy poca gente se arriesgaba a cambiar la puerta. Quien cambiaría una puerta cuando pueden engañarte con la pregunta?. Tan solo un loco, o un matemático, y es que el engaño es precisamente eso.

¿Quién dice que las matemáticas no sirven para nada?

Si te interesan las matemáticas del juego puedes visitar mi canal de youtube math for all en Youtube donde estudio matemáticamente juegos de azar como Póker o Blackjack.

The post El Problema de Monty Hall first appeared on Math4all.

¿Crees que se puede ganar en el Blackjack?. ¿Cual es la mejor manera de jugar? En este articulo resolvemos estas y otras cuestiones con la ayuda de las matemáticas.

1.Reglas del Blackjack
2.Acciones de Blackjack
3.Premios de Blackjack
4.Estudio matemático del Blackjack
 4.1.Probabilidades de pasarnos de 21
 4.2.Probabilidades de que el Crupier se pase de 21
 4.3.Ventaja Matemática de la Banca
5.Estrategia Básica
 5.1.Tabla Estrategia Básica 1 Mazo
 5.2.Tabla Estrategia Básica Varios Mazos
6.Conteo de Cartas
7.Conclusiones

1.Reglas del Blackjack

El Blackjack es un juego de baraja francesa de hasta 7 jugadores donde los jugadores se enfrentan a la banca.

El objetivo es sumar 21 con nuestras cartas o un valor superior al de la banca sin pasarnos del número.

Si superamos 21 o sumamos un valor mas bajo que el del crupier automáticamente perderemos nuestra apuesta.

Una vez realizadas las apuestas se reparten 2 cartas visibles a cada jugador y solamente una para la banca.

Los jugadores deberán decidir en base a sus cartas y a la del crupier si quieren pedir carta, plantarse, doblar su apuesta o dividir su mano en manos separadas.

Todas las cartas valen el valor numérico que tienen del 2 al 10, excepto las figuras que valen 10, y el as que puede valer 1 o 11 a nuestro interés.

Los pagos se hacen a la par y podemos sumar 21 con más de dos cartas, pero solamente se considerará blackjack cuando se haga con dos, y estará por encima de cualquier 21 sumado con más cartas.

La banca solo puede pedir carta o plantarse, y solamente pide carta cuando su mano está por debajo de 17, por lo que si llega o supera ese valor se planta automáticamente.

En caso de que el crupier se pase de 21 los jugadores que todavía están en la mesa ganarán sus apuestas y en caso de empate el jugador recuperará su apuesta.

Se puede jugar a blackjack con una o más barajas, siendo 6 barajas en el Blackjack Europeo.

El Blackjack Americano tiene algunas diferencias en sus reglas que le permiten modificar si el crupier pide carta o de que maneras pueden dividir la mano los jugadores. Además este se reparte una segunda carta tapada después de repartir a los jugadores y puede consultarla en caso de que su primera carta destapada le de la posibilidad de hacer blackjack (si efectivamente suman 21 los jugadores pierden su apuesta antes ni siquiera de jugar). Esto hace que se agilice el juego y también disminuye la ventaja de la casa.

2.Acciones de Blackjack

-Pedir Carta/Plantarse

En primer lugar podemos pedir carta mientras nuestra suma no supere 21. Dependiendo de las cartas nos convendrá pedir otra carta o plantarnos pero si superamos 21 con la carta pedida perderemos la apuesta.

-Doblar Apuesta

Para doblar nuestra apuesta necesitamos una mano que sume obligatoriamente 9, 10 u 11 y solo podrá hacerlo en el principio de turno. En caso de doblar tu apuesta solo podrás recibir una carta más.

A diferencia en el Blackjack Americano podremos doblar con cualquier mano.

-Separar Cartas

Si nuestras cartas tienen el mismo valor, podemos separar en dos manos diferentes cada carta para jugarlas de manera independiente. Para eso es obligatorio añadir además una apuesta igual a la inicial. Tenéis que saber que dentro de una mano separada aunque sumemos 21 con la siguiente carta no se considerará blackjack.

Después de separar, la mayoría de casinos permiten doblar a las nuevas manos resultantes y esto nos da cierta ventaja. (No permitirlo aumenta la ventaja de la casa en un 0,12%.)

-Apuesta de Seguro

Si la carta descubierta por el crupier es un as, podemos apostar a seguro si presentimos que la banca conseguirá blackjack con la siguiente carta. Si finalmente lo consigue seremos premiados.

-Rendirse

Rendirse solo es posible en el Blackjak americano y si el jugador se rinde perderá la mitad de la apuesta.

3.Premios de Blackjack

–1 a 1 (una ficha por cada ficha apostada) si ganamos a la banca.

–3 a 2 (tres fichas por cada dos fichas apostadas o 1 ficha y media por cada ficha apostada) si ganamos a la banca con Blackjack (siempre que no se produzca un empate). En el Blackjack Americano de las Vegas se paga con 6 a 5.

–2 a 1 (dos fichas por cada ficha apostada) si ganamos una apuesta a seguro.

El caso del Blackjack Americano, también es habitual que si el jugador tiene blackjack y el crupier tiene un As visible, se le ofrezca la posibilidad de cobrar el blackjack con un 2 a 1 (en lugar del 3 a 2 habitual) como alternativa a la apuesta de seguro.

4.Estudio matemático del Blackjack

Para analizar el blackjack a nivel matemático debemos saber que una baraja francesa tiene 52 cartas.

-4 de ellas son As.

-16 de ellas son 10 o Figura.

-Las 32 restantes son números del 2 al 9.

Por lo que podemos sacar algunas conclusiones:

-Aproximadamente una tercera parte de las cartas tienen el valor 10 (Lo cual toma un papel fundamental).

-Solo hay 4 cartas que son as, por lo que si queremos obtener un blackjack vamos a necesitar uno de ellos, pero cual es la probabilidad?

La probabilidad de obtener blackjack sería las maneras que tenemos de obtener 21 con dos cartas de entre todas las combinaciones posibles de sacar 2 cartas de la baraja.

O lo que es lo mismo casos favorables entre casos posibles.

para obtener 21 con dos cartas necesitamos un as y un 10 , y en la baraja existen 4 ases y 16 10’s (entre figuras y cartas de valor 10).

Por otra parte todas las combinaciones de sacar 2 cartas, son combinaciones de 52 elementos cogidos de 2 en 2 (donde no importa el orden y no se pueden repetir),

por lo que la probabilidad es:

4.16 / C52,2 que es igual a 64/1326 o lo que es lo mismo un 4,8% de probabilidad (lo cual era lógico ya que sabemos que para tener blackjack necesitamos siempre un as y tan solo hay 4 en la baraja)

-En caso de jugar con varias barajas se mantiene la misma proporción de cada figura o número, ya que es lo mismo 4 ases en 52 cartas que 8 en 104. Pero las probabilidades de obtener un resultado concreto varían ligeramente, ya que influye menos quitar una carta a una baraja de 104 cartas que a una 52. Por lo que cada juego con diferentes barajas tiene su propio estudio probabilístico.

4.1.Probabilidades de pasarnos de 21

Para calcular la probabilidad de pasarnos de 21, debemos calcular la probabilidad de pasarnos para cualquier mano, y para eso necesitamos ir mano por mano.

Imaginémos que nuestra mano por ejemplo suma 12:

Al pedir una carta más estos se nos plantean todos estos casos:

Como vemos a priori hay 4 casos de 13 donde superamos 21. Esto es aproximadamente una probabilidad del 30%, lo que significa que con un 12 solo en un 30% de las veces que pidamos carta nos pasaremos de 21.

El cálculo de esta probabilidad es una simplificación porque realmente tendríamos que tener en cuenta que las cartas que conforman el 12 varían ligeramente la probabilidad de la carta hemos pedido, pero la diferencia con este cálculo no es muy grande y además es mucho más complejo de estudiar y de entender)

Si calculamos lo mismo para todas las manos posibles (y de manera exacta) obtenemos la siguiente tabla:

Como véis a partir de 13 tanto nosotros como la banca nos pasaremos la mayoría de veces.

Fijaros también que si nuestra suma es 11 o menos nunca podremos superar 21 con una carta más por eso su probabilidad es 0

4.2.Probabilidades de que el Crupier se pase de 21

Como acabamos de ver, si no queremos perder la mayoría de veces debemos pedir carta, siempre y cuando nuestra mano sume menos de 14. La pregunta es, ¿poniéndonos un límite en 14 tenemos opciones de ganar?

Si tenemos en cuenta que la banca siempre pide carta hasta sumar 17 o más, plantarse con un valor menor a 17 solo te hace ganador cuando el crupier se pasa.

O dicho de otra manera, si el crupier no se pasa de 21, su mano siempre tendrá un valor igual o mayor a 17, por lo que los jugadores que se plantaron con una mano menor a 17 perderán su apuesta.

Pues bien según el estudio matemático realizado las probabilidades de que el crupier se pase en función de la carta que tiene (y a su estrategia) son las siguientes:

Para una carta alta la probabilidad de pasarse es bastante baja siendo el as la carta que mas ventajas le ofrece a la banca.

Para una carta baja la probabilidad es mas alta, pero fijaros que en ningún caso supera el 50%.

Si hacemos el promedio de todas llegamos a la conclusión de que el crupier se pasa en un 28.35% de las veces (368,67/13) lo que significa que en el 71.65% de las veces que te plantes con menos de 17 vas a perder tu apuesta.

Límite de la Banca

Como acabamos de ver es inútil ponerse un límite por debajo del de la banca, ya que perderemos en la mayoría de ocasiones.

Pero gracias a esto también hemos visto que la primera carta del crupier nos puede dar una información valiosa para tomar decisiones.

Las preguntas que nos surgen entonces son:

-¿Por qué el límite de la banca es 17?

-¿Qué pasa si copiamos esta estrategia y nos plantamos a partir de 17?

4.3.Ventaja Matemática de la Banca

Si os fijáis el crupier siempre espera que el jugador termine su jugada antes de proceder a jugar él. Esto significa que si el jugador se pasa de 21, pierde su apuesta, independientemente de lo que haga el crupier. Por lo que si el crupier también se pasa de 21 sigue siendo el jugador el que pierde, ya que se había eliminado antes. Eso hace que la banca gane en un escenario que a priori es de empate, y esto ocurre el 7,9% de las veces que se juega. Eso es aproximadamente un 8% de ventaja sobre el jugador que finalmente se reduce a un 5,6% si tenemos en cuenta que los blackjacks se pagan 3 a 2 en vez de los 2 a 1 equitativos. Esa es la principal ventaja del casino.

Para luchar contra esto, el jugador tiene opciones que le permiten tener una estrategia flexible. Puede doblar cuando le interesa, abrir manos o rendirse, y lo más importante, conoce una carta del crupier que le hará tomar decisiones distintas de pedir o plantarse teniendo en cuenta ésta. Y aquí es donde entran las matemáticas una vez más:

5.Estrategia Básica

En los años 50 un grupo de matemáticos líderados por Roger Baldwin desarrollaron la estrategia básica. Esta se basa en optimizar las decisiones del jugador de tal manera que la acción que elija es la mas óptima en cuanto a ganancia de entre todas las acciones que puede tomar. Esto nos brinda a priori la máxima ganancia posible a largo plazo.

Y se consigue elaborando un modelo probabilístico que calcula en base a la mano del jugador condicionada por la carta del crupier cuando es mas óptimo tomar la decisión de plantarnos, pedir carta doblar, separar, o apostar a seguro, ya sea para para manos duras que son inflexibles como para manos blandas donde hay un as y puede cambiar la suma.

En el lenguaje matemático podemos decir que mediante una función recursiva con unos valores finales definidos, y una tabla con todas las probabilidades para la suma del crupier, se calcula el máximo entre la ganancia esperada si se planta y la ganancia esperada teniendo en cuenta todas las posibles cartas que pueda recibir al pedir carta (el promedio de todas las posibles ganancias esperadas si pide la siguiente carta). Con esto se elabora una tabla de resultados que nos aseguran matemáticamente cual es la acción mas conveniente, haciendo que nuestra estrategia sea óptima sea cual sea la combinación de cartas entre el jugador y el crupier. Por lo que si queréis jugar bien al Blackjack os recomiendo que os descarguéis esta tabla:

DESCARGAR ESTRATEGIA BÁSICA 1 MAZO

DESCARGAR ESTRATEGIA BÁSICA VARIOS MAZOS

Como detalle fijaros que en las manos duras a partir de 17 nos da instrucciones de plantarnos, lo que significa que independientemente de la carta que tenga el crupier las matemáticas nos dicen que la ganancia esperada es siempre más alta si nos plantamos. Eso responde a la pregunta de porque la casa pone 17 como límite, si entendemos que la banca también es un jugador.

Fijaros también que nunca debéis apostar a seguro. Esto es debido a que aunque la banca tenga un AS en su mayoría de veces no conseguirá Blackjack.

Pues bien, con esta estrategia pasamos del 5,6% anterior a un porcentaje inferior al 1% para la banca que oscilará dependiendo de las reglas de la mesa y de las barajas que se utilicen. Tenemos que entender que aunque se trate de una estrategia óptima no implica que necesariamente sea una estrategia ganadora, pues el balance de nuestra ventaja pese a ser pequeño sigue siendo negativo. Y esto se debe principalmente a que las cartas altas del crupier disminuyen en mayor medida nuestra ventaja que las cartas bajas, por lo que aunque tomemos la mejor decisión, no ganaremos necesariamente, aunque si jugaremos de la mejor manera posible.

En el Blackjack americano los porcentajes son ligeramente diferentes pero en ningún caso superan el 1%, siempre y cuando apliquéis una estrategia básica adaptada para estas reglas, recordad que cada modalidad es diferente y necesita una estrategia básica diferente.

Análisis Estrategia Básica

Si la manera mas óptima de jugar tan solo minimiza las pérdidas, ¿existe una manera real de ganar en el blackjack?

Para responder a esta pregunta debemos entender que hipótesis se han hecho para resolver este problema.

La estrategia básica se desarrolló teniendo en cuenta que las probabilidades de cualquier cada carta son invariables a lo largo del juego, es decir la probabilidad que aparezca un as, un número o una figura son siempre las mismas. cosa que no es del todo real ya que las probabilidades van cambiando a medida que se van repartiendo las cartas.

Pero que pasaría si os dijera que podemos tener un sistema para contar estas cartas, y anticiparnos a más manos ganadoras?

6.Conteo de Cartas (Sistema HI-LO)

A este sistema de conteo se le conoce como HI-Lo y lo escribió por primera vez en 1962 un matemático ex empleado de IBM en el libro “Beat the dealer”

La idea es controlar las cartas altas de la baraja, que son las únicas que pueden conformar blackjack, de tal manera que si sabemos cuantas cartas altas han aparecido sabemos si quedan muchas o pocas por aparecer, y así podemos saber que probabilidades tenemos de obtener blackjack en tiempo real, con la ventaja adicional que eso supone.

Para conocer esa ventaja necesitamos tener un control sobre las cartas que van apareciendo, algo que parece ser bastante complicado si para esto necesitamos memorizar todas las cartas que van apareciendo. Afortunadamente las matemáticas nos ofrecen una solución mejor.

El sistema Hi-Lo asocia a las cartas a tres valores diferentes -1, 0 y 1.

1 negativo a las cartas altas, 1 positivo a las cartas bajas y las restantes adquieren un valor nulo o 0.

Nuestro cometido es entonces llevar la cuenta de todas las cartas que se han repartido incluida la del crupier.

Dado que en este sistema existe la misma proporción de cartas altas y bajas, una cuenta positiva o negativa nos indica directamente cuando quedan o no más cartas altas en la baraja.

Por lo que si nuestra cuenta es negativa es porque habremos contado más cartas altas, y quedarán menos cartas altas por aparecer, algo que no nos interesa.

En cambio si nuestra cuenta es positiva es porque habremos contado más cartas bajas, y sabremos con certeza que quedan más cartas altas por aparecer. Es aquí donde podemos sacar provecho.

Nuestro objetivo con este sistema es acumular en esa cuenta un número positivo lo mas grande posible que nos ofrece las mayores probabilidades de obtener blackjack. Si lo conseguimos podemos decir que la mesa está caliente y podemos modificar la estrategia básica a nuestro interés por ejemplo para doblar la apuesta o apostar a seguro. Como el blackjack se paga 3 a 2 y los casos de empate son poco probables tenemos por primera vez un sistema de juego con una ganancia esperada superior a la de la banca. Y todo gracias a las matemáticas.

Fijaros que las cartas bajas equilibran a las altas, lo que implica que la cuenta total una vez se hayan repartido todas las cartas tiene que ser 0 obligatoriamente. Además también vemos que hay 3 cartas que no se consideran ni altas ni bajas, esto se debe a que el sistema tiene que equilibrar 5 altas con 5 bajas, pero en la baraja hay mas números que figuras ases y dieces por lo que hay 3 números sobrantes que se agrupan en un valor neutro que no interfiere sobre la suma.

En el caso de jugar con varias barajas hay que tener en cuenta que no es lo mismo una suma con 4 barajas pendientes que la misma suma con 1. Por eso tenéis que ir dividir la suma actual entre el número de barajas que creemos que quedan por salir, y esta será la cuenta real.

Existen otros métodos de conteo algo más eficientes pero asignan mas valores y son algo más complicados de ejecutar, pero si entendéis el HI-LO entenderéis cualquier otro.

Pese a que podemos tener una ventaja con este sistema todo esto sucede tras miles y miles de manos y nos da una ventaja de décimas de porcentaje, por lo que váis a necesitar una cartera muy grande y mucho tiempo.

Medidas actuales contra el Conteo de Cartas

Lamentablemente los casinos han introducido medidas para contrarrestar a los contadores de cartas.

-La primera es aumentar el número de barajas, y es que que a más barajas use el juego más complicado lo váis a tener para ganar contando. Pensad que el echo de que existan mas barajas pendientes hace que sea mas difícil acumular solamente las mejores cartas al final que con una sola baraja, eso hace que la varianza de la cuenta que estáis llevando sea mas pequeña y en consecuencia tengáis menos posibilidades.

Una: 0,17%

Dos: 0,46%

Cuatro: 0,60%

Seis: 0,64%

Ocho: 0,66%

-La segunda medida que se aplica actualmente son los mezcladores y elementos automáticos para mezclar las cartas antes de que termine el juego, que obligan al contador a reiniciar la cuenta que llevaba acumulada y por lo tanto perder toda la ventaja.

-Además algunos casinos como en Las Vegas pagan 6 a 5 por el blackjack lo cual triplica la ventaja de la casa sobre el jugador e incluso en algunos si sospechan que un jugador es contador se pueden permitir el lujo de modificar la apuesta de la casa.

Tenéis que saber que el conteo es legal pero si os descubren os expulsarán del casino. Los casinos conocen el perfil de un contador de tal modo que no les será muy complicado descubriros si empezáis a ganar dinero.

7.Conclusiones finales

Desde el punto de vista de los números si existe una posibilidad matemática de ganar al blackjack por eso mucha gente ha ganado dinero, pero no es sencillo de ejecutar, ni rápido, ni mucho menos barato por lo que probablemente no esté a tu alcance.

En cualquier caso si váis a jugar:

• Os recomiendo aprender y adaptar primero la estrategia básica para mejorar tus probabilidades.
• No apostar en mesas con premios inferiores a 3 a 2.
• Jugar en mesas con el número de barajas más pequeño posible y revisar muy bien las reglas de la mesa.
• Y si vas a contar cartas, estudiar como se mezclan y probar primero tu estrategia antes de invertir una gran cantidad.

Recordad que:

• A mas barajas, más gana la casa.
• A peores reglas, más gana la casa.
• Y a menos estrategia o conocimiento tienes, más rápido y seguro gana la casa.

Entonces la casa siempre gana?

No siempre gana, pero está claro es que si no lo hace cambiará lo que sea necesario para hacerlo. Recordad que esto es un negocio.

The post Las Matemáticas del Blackjack first appeared on Math4all.

¿Crees que se puede ganar en la Ruleta?. En este artículo analizaré el juego de la Ruleta a nivel matemático para que sepas si es posible o no ganar a largo plazo. ¿Estás preparado?

1.Reglas de la Ruleta
 1.1.Apuestas de la Ruleta
2.Estudio matemático de la Ruleta
 2.1.Esperanza matemática de un pleno
 2.2.Ganancia esperada de un pleno
 2.3.Ganancia esperada de todas las apuestas
 2.4.Simulación con dinero real
3.Preguntas más frecuentes
4.Conclusiones

1.Reglas de la Ruleta

-La Ruleta Europea se compone de 37 números que giran y se lanza una bola que cae en uno de ellos.

Ruleta Europea

-Las apuestas se hacen en base a un número, o a un grupo de ellos y se premian de diferente manera.

–18 de los números son rojos y los otros 18 negros que sumados al 0 nos dan 37.

-La mitad de los números son pares y la otra mitad son impares, excepto el 0 que no se considera par ni impar en este juego.

-En la Ruleta americana tenéis un número más que es el doble cero pero en este vídeo nos centraremos en la ruleta europea con un solo cero.

Ruleta Americana

-Las apuestas pueden hacerse con la ruleta parada o en movimiento desde que el crupier o la máquina indiquen abran juego y hasta que indiquen “no va más”.

-Una vez la bola ha caído en el número, se procede a premiar a los que han acertado y la banca se queda con las fichas restantes de los jugadores que han perdido sus apuestas.

Apuestas y probabilidades de la Ruleta

Vamos a ver ahora todas las apuestas o jugadas de la ruleta europea a las que puedes apostar y cuales son sus probabilidades:

Apuestas Sencillas (suertes sencillas)

• Rojo-Negro: 1 a 1 (probabilidades 18/37 =~ 48.6%) (47.4% Ruleta Americana)

• Par-Impar: 1 a 1 (probabilidades 18/37 =~ 48.6%) (47.4% Ruleta Americana)

• Pasa-Falta (19-36/1-18):  (probabilidades 18/37 =~ 48.6%) (47.4% Ruleta Americana)

Apuestas Múltiples (suertes con otras probabilidades)

• Doble Docena: 1/2  a 1 (probabilidades 24/37 =~ 64.8%) (63,1% Ruleta Americana)

• Doble Columna: 1/2 a 1 (probabilidades 24/37 =~ 64.8%) (63,1% Ruleta Americana)

• Docena: 2 a 1 (probabilidades 12/37=~  32.4%) (31.6% Ruleta Americana)

• Columna: 2 a 1 (probabilidades 12/37 =~ 32.4%) (31.6% Ruleta Americana)

• Línea/Seisena: 5 to 1 (probabilidades 6/37 =~ 16.2%) (15.8% Ruleta Americana)

• Cuadro: 8 a 1 (probabilidades 4/37 =~ 10.8%) (10.5% American Ruleta Americana)

• Calle: 11 a 1 (probabilidades 6/37 =~ 8.1%) (7.9% American Ruleta Americana)

• Caballo/Media: 17 a 1 (probabilidades 2/37 =~ 5.4%) (5.3% Ruleta Americana)

• Pleno: 35 a 1 (probabilidades 1/37 =~ 2.7%) (2.60% Ruleta Americana)

Como hemos visto las jugadas simples y algunas múltiples son realmente lo mismo a nivel matemático. También hemos visto que el premio aumenta en proporción a lo difícil que es acertar.

Entonces nos surgen varias preguntas:

-¿El premio que recibimos es rentable?

-Si unas tienen mas premio pero otras son más fáciles de acertar, ¿cual nos sale es mejor para apostar?

2.Estudio Matemático de la Ruleta

Si estudiamos la ruleta desde el punto de vista matemático nos daremos cuenta de que cualquier apuesta es un experimento con dos posibles resultados éxito y fracaso, donde la probabilidad de acertar cada número es la misma, independientemente de los números que cojamos, ya que todos los números tienen la misma probabilidad de salir.

Además cada tirada no depende de la anterior y no importa el número que haya salido antes.

En este escenario ideal el número de aciertos para una serie de tiradas siguen una distribución binomial n,p donde n es el número de tiradas y p la probabilidad de acertar la apuesta.

La probabilidad de acertar x veces en n tiradas es de n combinado con x por p elevado a x por (1-p) elevado a x-n, donde si p es la probabilidad de ganar 1-p es la probabilidad de fallar la apuesta.

Con esto podemos calcular la probabilidad de acertar 0, 1, 2 veces exactas etc….

Pero para saber si una apuesta es rentable lo que necesitamos saber realmente es si vamos a ganar o a perder, y para esto tenemos que saber cual es la ganancia promedio de esa apuesta, por lo que necesitamos primero definir primero el concepto de esperanza matemática.

La esperanza matemática para una variable binomial es el número de aciertos promedio para n experimentos, y se calcula como p·n, en nuestro caso será el número promedio de apuestas ganadas jugando n veces.

Esperanza Matemática de un Pleno

Entonces la esperanza de un pleno para 1 tirada será 1 · 1/37 que es aproximadamente 0.027, es decir que jugando una vez a pleno esperamos acertar un 2,7% en promedio

Para 2 tiradas será lo mismo pero por 2, que es aproximadamente el 5,4% de aciertos.

Para 3 tiradas, es lo mismo pero por 3,… y así podemos calcular la probabilidad para las tiradas que queramos.

Fijaros que para 37 tiradas la esperanza es 1, lo que significa que que en 37 tiradas apostando a pleno esperamos ganar en promedio 1 vez, que es lo que algunos habíais intuido ya.

Ganancia Esperada de un Pleno

Ahora que ya sabemos calcular el promedio de acierto para cada apuesta, y el premio, calcular la ganancia esperada para una apuesta es sencillo, ya que es sencillo calcular el beneficio y la pérdida promedio.

Ganancia esperada = Beneficio esperado – Pérdida esperada

donde:

Beneficio promedio = número de aciertos promedio · premio de la apuesta · apuesta = esperanza de ganar · premio · apuesta

Pérdida promedio = número de fallos promedio · la apuesta (que es lo que perdéis) = esperanza de perder · apuesta

Entonces la ganancia esperada para un pleno en 1 tirada:

es igual a la esperanza para 1 tiro · premio · apuesta – la esperanza de perder para 1 tiro (que se calcula igual pero con la probabilidad de perder) · apuesta:

Esto es 1/37 · 35 (que es el premio del pleno) · apuesta – 36/37 · apuesta, que es aproximadamente –0.027 por apuesta, es decir que en promedio esperáis a perder un 2,7% de vuestra apuesta cada vez que juguéis a un pleno. (2,6% para ruleta americana)

y lógicamente el margen esperado del casino o beneficio esperado de la casa será de un 2,7% de tu apuesta cada vez que juegues.

Si lo calculáis para dos tiradas la ganancia esperada es el doble de negativa por lo que el margen del casino esperado asciende hasta el 5.4%.

y que pasa cuando juguemos 37 veces?, como hemos visto esperamos ganar una vez, pero cual es el beneficio?

En 37 tiradas la esperanza de ganar es 1 y la esperanza de perder es lógicamente 36, por lo que si hacéis los cálculos veréis que el beneficio es de -1 · apuesta. Es decir que en 37 tiradas el casino espera ganar en promedio el valor de vuestra apuesta.

Esto significa que si jugáis a pleno 37 veces apostando por ejemplo 1 euro/dolar cada vez, váis a perder en promedio 1 euro/dolar.

Ganancia Esperada de todas las Apuestas

Como vemos, jugar a pleno además de ser difícil de acertar nos genera pérdidas a corto y a largo plazo. A más jugamos más dinero perdemos y necesitamos jugar en promedio 37 veces para acertar, pero cuando lo hacemos nos pagan 35 que es menos de lo que hemos perdido. Por lo que no parece una buena estrategia jugar a un solo número todo el rato.

Entonces, existe alguna jugada mejor que el pleno?

por eso voy a enseñaros unos resultados que he calculado por mi cuenta aplicando la misma fórmula para todas las apuestas. Así que vamos a ver la ganancia esperada o margen de la casa para todas las jugadas.

Apuestas Complejas

• Dos Columnas = (24/37∙0.5)Ap-(13/37∙1)Ap = 12/37Ap-13/37Ap = -1/37Ap  =~  –2.70% de Ap

• Dos Docenas = (24/37∙0.5)Ap-(13/37∙1)Ap = 12/37Ap-13/37Ap = -1/37Ap  =~  –2.70% de Ap

• Columna = (12/37∙2)Ap-(25/37∙1)Ap = 24/37A-25/37Ap = -1/37Ap    =~  –2.70% de Ap

• Docena = (12/37∙2)Ap-(25/37∙1)Ap = 24/37A-25/37Ap = -1/37Ap    =~  –2.70% de Ap

• Seisena/Línea = (6/37∙5)Ap-(31/37∙1)Ap = 30/37Ap-31/37Ap = -1/37Ap  =~  –2.70% de Ap

• Cuadro = (4/37∙8)Ap-(33/37∙1)Ap   = 32/37Ap-33/37Ap = -1/37Ap  =~  –2.70% de Ap

• Caballo/Media = (2/37∙17)Ap-(35/37∙1)Ap = 34/37Ap-35/37Ap = -1/37Ap  =~  –2.70% de Ap

• Transversal/Calle = (3/37∙11)Ap-(34/37∙1)Ap = 33/37Ap-34/37Ap = -1/37Ap  =~ –2.70% de Ap

• Pleno/Número = (1/37∙35)Ap-(36/37∙1)Ap = 35/37Ap-36/37Ap = -1/37Ap  =~  –2.70% de Ap

Apuestas Simples

• Rojo-Negro = (18/37∙1)Ap-(18/37∙1)Ap-(1/37∙1/2)Ap = 18/37Ap-19/37Ap = -1/74Ap =~  –1.35% de Ap

• Par-Impar = (18/37∙1)Ap-(18/37∙1)Ap-(1/37∙1/2)Ap = 18/37Ap-19/37Ap = -1/74Ap =~  –1.35% de Ap

• Pasa-Falta = (18/37∙1)Ap-(18/37∙1)Ap-(1/37∙1/2)Ap = 18/37Ap-19/37Ap = -1/74Ap =~  –1.35% de Ap

Además he construido una hoja de cálculo y he aplicado la fórmula que habéis visto para todas ellas, cogiendo la probabilidad y el premio de cada una, para ver cual es su ganancia jugando una o más veces. El resultado obtenido más importante es que cualquier jugada simple o múltiple tienen la misma ganancia esperada en la Ruleta europea y la misma ganancia siempre en la Ruleta americana. Esto es porque en la ruleta europea en las apuestas simples si sale el 0 o el doble 0 perdemos solamente la mitad de la apuesta, y eso hace que la ganancia mejore. De esta manera he podido calcular algunos resultados que me han llamado la atención y que váis a ver a continuación.

DESCARGAR PLANTILLA

-Vemos que las apuestas simples son mejor para nosotros que un pleno o cualquier apuesta múltiple.

-Vemos que dentro de las simples o las múltiples no importa la apuesta que cojáis, si cogéis dos docenas, ganarás mas veces pero cuando pierdas también perderás más, y si cogéis el pleno, el premio es mas grande, pero os costará mas dinero acertarlo que el premio que os darán, por eso el margen de la casa es el mismo para todas las apuestas.

Simulación con Dinero real

Aquí tenéis una pequeña simulación de lo que pasaría con dinero real.

• 1 tirada apostando 1 euro/dólar: perderéis en promedio 1 céntimo en las simples y casi 3 céntimos en las múltiples (esto es porque en las apuestas simples si sale el 0, perdéis solamente la mitad de la apuesta y hay que contemplar esa posibilidad)

• 1 tirada apostando 20 euros/dólares: perderéis 27 céntimos de promedio en las simples y 54 céntimos en las múltiples. Lo que significa que a más dinero apostáis mas dinero perdéis.

• 20 tiradas apostando 1 euro/dólar por tirada: perdéis de nuevo 27 y 54 céntimos. (ya que es la mismo jugar 1 vez apostando 20 euros que jugar 20 veces apostando un euro, aunque hay que tener en cuenta que jugando 20 veces vuestro promedio real será mas parecido a esas cantidades que jugando una. Lo que significa que a mas veces jugáis mas seguro perdéis.

• 37 tiradas con cualquier cantidad: perderéis en promedio esa cantidad en total en cualquiera de las múltiples y la mitad de la cantidad en las simples. Y si sustituís la x por cualquier número y sabréis cuanto váis a perder en promedio sea cual sea la apuesta.

Tened en cuenta que estos resultados son para la ruleta europea, pero la americana es todavía peor ya que las apuestas se premian igual pero tenéis menos probabilidades de acertar al haber un número más, además si sale el 0 o el doble 0 lo perdéis todo en este caso.

3.Preguntas más frecuentes

He reunido las preguntas más interesantes para un jugador de casino, y así resolver alguna de vuestras dudas:

PREGUNTA: Si han salido muchos rojos seguidos, Es más probable que salga un negro en la siguiente tirada?

RESPUESTA: NO, de echo es un error muy habitual de los jugadores. Tenéis que tener en cuenta que la ruleta es un mecanismo físico, que no recuerda las tiradas que se han hecho antes. Por eso cada tirada es independiente de la anterior y saldrá lo que tenga que salir, pero no lo contrario a lo que ha salido antes solo porque lo estemos esperando. Por eso se dice que la ruleta no tiene memoria. Es importante que aprendáis a calcular las probabilidades correctamente. Antes de jugar, que salgan muchos rojos o muchos negros seguidos tiene una probabilidad pequeña, pero una vez eso ya ha ocurrido, lo que viene a continuación no tiene mas probabilidad ni menos por ser lo contrario, de hecho sigue teniendo la misma probabilidad.

PREGUNTA: Qué pasa si juego varias apuestas a la vez, como por ejemplo varios números al mismo tiempo?

RESPUESTA: Combinar apuestas significa que haces varias apuestas al mismo tiempo, pero no significa que tengan relación, de echo cada apuesta se paga por separado. Por lo que si jugáis a varias apuestas, la casa siempre paga cada apuesta por separado. A nivel matemático si abarcas más números tu probabilidad puede aumentar, pero no tu rentabilidad. Al ser apuestas independientes estás haciendo muchas apuestas que no son rentables al mismo tiempo, y al final eso es todavía menos rentable. Recuerda que si quieres coger un grupo una jugada simple también agrupa números y tiene menos margen.

Combinar apuestas te dará más probabilidades de acertar alguna o varias si las combinas, el problema es que cada apuesta es independiente en premio, y sabemos que ninguna tiene un margen positivo, esto significa que aunque las combines estás haciendo muchas apuestas que no son rentables al mismo tiempo, y al final eso es todavía menos rentable. Recuerda que con apuestas simples también puedes abarcar grandes grupos de números, y si juegas en la ruleta Europea las apuestas simples tienen menos margen de pérdida.

PREGUNTA: ¿Y si juego a doblar mi apuesta cada vez que pierdo?

RESPUESTA: Doblar al rojo o al negro cuando se pierde (o cualquier otra jugada) se le conoce como “martingala”, y también ha sido estudiada matemáticamente. Lo primero que debes tener en cuenta es cuantas fichas tienes, y cuantas veces veces puedes permitirte doblar tu apuesta. Ten en cuenta que doblar implica apostar cada vez el doble de lo perdido anteriormente. Si pierdes una ficha, tienes que apostar 2, después 4, luego 8, 16, 32…. y esto es un crecimiento de pérdida exponencial, lo cual puede hacer que pierdas todas tus fichas en una racha relativamente corta de mala suerte. A más maximices la cantidad de veces que puedes doblar más podrás aguantar una siguiente vez doblando, pero esto solo se consigue de dos maneras: o teniendo mucho dinero, o apostando fichas de muy bajo valor. En cualquiera de las dos podrías salir victorioso la mayoría de veces que visites un casino, pero que ganes la mayoría de veces no significa que tu balance vaya a ser positivo en el tiempo. Recuerda que mientras ganes seguirás jugando. El problema es que matemáticamente existe una combinación de rojos o negros… seguidos que supera el límite de veces que podrás doblar con el capital que tienes  (porque nadie tiene dinero infinito). Seguramente piensas que es casi imposible que salgan 10 o 15 rojos seguidos, y razón no te falta, es bastante difícil, pero no imposible. El problema es que al jugar más tiempo estás aumentando las posibilidades de que esa combinación se manifieste. Por lo que a más juegas, más probable es que eso acabe sucediendo, y si eso sucede, necesitarás doblar con dinero que ya no es de beneficio por lo que puedes perder todo el beneficio que tenías acumulado de jugar haciendo esto y mucho más. Ten en cuenta que antes de jugar es muy difícil que salgan 10 rojos seguidos, pero una vez han salido 9, que salga otro más es bastante sencillo, porque la ruleta no tiene memoria. Créeme, por experiencia sé que no es tan complicado que salgan esas tiras de rojos y negros seguidos, así que mucho cuidado con la martingala.

PREGUNTA: Antes has dicho que el margen es el mismo para todas las jugadas múltiples, pero ¿hay alguna diferencia?

RESPUESTA: En realidad si, si coges una jugada difícil de acertar como un pleno, perderás con más frecuencia y vas a necesitar seguir jugando para llegar hasta el premio o recuperar el dinero que has perdido, con lo cual jugarás mas veces en promedio, y a más juegas más pierdes.

PREGUNTA: Y que pasa si tengo pocas fichas para apostar, ¿qué apuesta me recomiendas?

RESPUESTA: Si tienes pocas fichas, nunca cojas el pleno o cualquier jugada poco probable, porque no tendrás suficientes fichas para cubrir el promedio de tiros hasta acertar. Recuerda que para un pleno necesitas 37 tiradas para obtener un acierto en promedio, si no tienes las suficientes fichas la mayoría de veces te irás antes de acertar uno. Si tienes pocas fichas haz apuestas sencillas o probables.

PREGUNTA: Algo que me ha sorprendido es que jugar una partida con 20 euros es lo mismo que 20 partidas de un euro, porque a mi me gusta jugar, y no entiendo porque iba a jugar 1 sola partida de 20 euros pudiendo jugar 20 y pasar más tiempo jugando con el mismo dinero?

RESPUESTA: Según esta fórmula si, ganarás lo mismo en promedio, pero hay una cosa que has pasado por alto y es que el promedio es un dato estadístico, eso significa a mas tiradas haces más se acerca tu ganancia real a la que hemos calculado. Jugando una sola vez ganarás o perderás pero ese beneficio será muy diferente al calculado, en cambio por estadística jugando muchas veces te acercarás más a ese número. Es por eso el casino ya te da una serie de fichas por esos 20 euros, para que puedas jugar varias veces con esa cantidad. Porque a mas juegas, mas dejas que las matemáticas hagan su trabajo.

PREGUNTA: Entonces jugando esos 20 euros de ficha en ficha voy a perder mas dinero?

RESPUESTA: No más dinero pero si con mayor seguridad, concretamente te acercarás más a ese número que es negativo. Pero eso también hace sea más difícil ganar o perder más que esa cantidad. Jugar a largo plazo corrige las desviaciones puedas positivas o negativas que puedas tener y te acerca al valor esperado, eso significa un valor más estable, aunque te recuerdo que es negativo, por eso a más juegues más difícil te será ganar.

PREGUNTA: Me estás diciendo que al casino le interesa que tu juegues más veces aunque sea la misma cantidad?

RESPUESTA: Es exactamente lo que te estoy diciendo, jugando más veces será más difícil que la suerte te beneficie.

PREGUNTA: Entonces si quiero ganar tengo que poner los 20 euros en una sola apuesta?

RESPUESTA: Si quieres optar a ganar sí, pero si juegas los 20 euros a una sola apuesta vas a ganar o perderlo todo, porque solo tienes una tirada, Si quieres ganar (o perder) la misma cantidad pero jugando las fichas de uno en uno, vas a tener que ganar todas las veces (o perder todas las veces), porque para una misma jugada es lo mismo un premio de 20 euros que 4 premios de 5. Pero no es lo mismo acertar (o fallar) una vez, que acertar (o fallar) 4 veces seguidas.

PREGUNTA: Bien pero también puedo perder más dinero, porque también es más fácil fallar 1 vez que fallar 4.

RESPUESTA: Si te arriesgas puedes ganar más o perder más. Y de la otra manera perderás con más seguridad. (Hablando estadísticamente)

8. Conclusiones finales

Según las matemáticas no tiene sentido jugar a la ruleta para ganar dinero.

-El casino no necesita hacer trampas, simplemente los números no están a tu favor.

-Solo es posible ganar en la ruleta si conoces algún fenómeno físico, o algún dato estadístico real de esa ruleta que pueda cambiar las probabilidades de algunos números a tu favor. Para eso necesitas un estudio de miles y miles de números y una certeza matemática aceptable. Además deberás anotar las de apariciones de cada número en un fichero, por lo que quizás esta plantilla te ayude con esto:

DESCARGAR PLANTILLA RULETA

Pero cuidado, si ves que algún número tiene más apariciones, lo más probable es que sea producto del azar y no de que ese número tenga más probabilidad realmente, por lo que necesitarás miles de tiradas, y una certeza estadística aceptable. Tened en cuenta que los casinos luchan siempre para aleatoreizar lo máximo posible sus mecanismos. Pero como curiosidad podéis hacer un estudio de muchas tiradas para verlo.

En cualquier caso, si váis a jugar os recomiendo:

• Hacer solo apuestas simples y probables.
• Ser fugaces y haced pocas apuestas.
• No combinar apuestas.
• Limitar el dinero que váis a jugar antes de entrar, y nunca sobrepasar esa cantidad.
• Retiraros a tiempo (en esta última creedme).

Tened en cuenta que a la larga:

• A más dinero juegas, más gana la casa.
• A más combinas, más gana la casa.
• A más jugadas haces, más seguro y más gana la casa.

Entonces el casino gana siempre?

No siempre gana, pero si vuelves te acabará ganando.

Recuerda que la partida nunca termina.

Si quieres ver más videos como Póker o Blackjack puedes visitar mi canal de math for all donde los estudio con detalle.

The post Las Matemáticas de la Ruleta first appeared on Math4all.