Las Matemáticas de Monty Hall

1.DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA

Imaginad que estáis en un concurso y que yo soy el presentador

Detrás de una de estas 3 puertas hay un coche nuevo. Y detrás de las otras dos hay cabras (si cabras)

Tenéis que elegir una puerta y vamos a suponer que para ejemplo que elegís la puerta 1 (recordad que tenéis que ganar el coche nuevo y no una cabra…)

Yo que puedo ver lo que hay detrás de cada puerta descarto una de las puertas que tiene una cabra, abriendo la número 3 en este caso,

y ahora os hago la siguiente pregunta, queréis cambiar la puerta 1 por la 2?

O lo mas importante para el objetivo de este video, creéis que eso importa?

El problema de Monty Hall es uno de los problemas más famosos de probabilidad y viene del concurso televisivo de los 70 Let’s Make a Deal. El nombre hace referencia a su famoso presentador, y a su conocido juego de las 3 puertas. Donde se escondía un coche entre una de ellas, y el concursante debía elegir una puerta. Tras descartar otra de las puertas, Monty Hall preguntaba al concursante si quería cambiar de puerta o quedarse la que había elegido. Y es aquí donde está el verdadero juego.

2.ANÁLISIS INTUITIVO

Estoy seguro que muchos de vosotros pensáis no existe diferencia entre quedaros la puerta o cambiarla. Si quedan dos puertas y un coche, cualquiera de las dos opciones es lo mismo ya que si cambiáis la puerta podéis ganar o perder el coche y si no la cambiáis también podéis ganar o perder, lo cual deja a cada puerta con un 50% de probabilidad. Pero, es eso cierto?

Vuestra intuición puede deciros que si, pero creéis que vuestra intuición ha analizado el problema correctamente, crees que puedes confiar en tu instinto?

3.SIMULADOR MONTY HALL

Para salir de dudas he creado un simulador que recrea las reglas de este juego y vamos a ver que resultados nos ofrece para ambas elecciones, así que, no os lo perdáis:

Pues aquí estamos en nuestro simulador (que podéis descargar abajo en la descripción) y que hace exactamente lo que hemos descrito, así vamos empezamos a jugar y nos pide elegir una puerta, la elegimos y el presentador nos abre otra puerta donde no está el coche. Ahora podemos elegir cambiar la puerta o quedarnos con la que tenemos, así que vamos a elegir por ejemplo quedarnos la puerta.

 

JUGAR A MONTY HALL

 

En este caso, hemos perdido, pero eso no significa nada.

Como vemos el sistema guarda el resultado en las estadísticas así que vamos a probar muchas veces las dos estrategias y vemos que sucede.

Vamos a jugar primero eligiendo no cambiar de puerta así que nos quedamos la puerta que tenemos y vemos que en este caso …

Volvemos a jugar y vemos que

Vamos a aumentar a cámara rápida las partidas y vamos viendo los resultados en las estadísticas.

Después de 10 partidas hemos ganado el coche en un %

Vamos a jugar ahora eligiendo siempre cambiar de puerta, así que cambiamos la puerta que tenemos y aceleramos la simulación, Que creéis que pasará?

Ahora que ya hemos terminado, vemos hemos ganado el coche en un % de las veces

Pensábamos que daría igual, pero hemos visto que cambiar de puerta, nos hace ganadores en un porcentaje superior que quedarnos la puerta que teníamos, y parece ser bastante superior. Entonces, que está pasando?

4.ANÁLISIS MATEMÁTICO

Si analizamos el problema a nivel matemático nos daremos cuenta que esto es un problema simple de probabilidad, donde todos los posibles resultados del experimento de elegir una puerta son 3:

elegir coche, elegir una cabra, o elegir la otra cabra.

Los sucesos que necesitamos para resolver el problema son:

G: “Ganar el coche sin cambiar de puerta”

ó

G’: “Ganar el coche cambiando de puerta”

Vamos a estudiar la probabilidad de cada suceso por separado

SIN CAMBIAR DE PUERTA

Así que vamos a empezar por no cambiar de puerta

Si el concursante elige el coche, y no cambia la puerta, ganará el coche seguro, porque aguantará su puerta hasta el final.

De la misma manera si el concursante elige una cabra, y no cambia la puerta, nunca podrá ganar el coche.

Como hay solo caso donde gana de 3 elecciones posibles, la probabilidad de ganar el coche si no cambia de puerta es de 1/3. Lo cual es aproximadamente un 33,33% de posibilidades de ganar. Eso es 1 de cada 3 veces, lo que os deja en desventaja para poder ganar el coche.

Vamos a ver ahora cual es la probabilidad si decide cambiar de puerta:

CAMBIANDO DE PUERTA

Si el concursante empieza eligiendo el coche, y cambia la puerta, ya nunca podrá ganarlo ya que siempre lo cambiará por una cabra. No parece un buen comienzo.

En cambio fijaros que si elige una cabra, el presentador siempre le enseña la otra cabra. Esto descarta automáticamente una de las cabras, lo que implica que el concursante va a cambiar obligatoriamente la cabra que tiene por el coche. Como hay 2 cabras como posibles elecciones ganaremos el coche dos de cada 3 veces por lo que la probabilidad de ganar el coche cambiando de puertas de 2/3. Lo cual duplica las probabilidades de un 33,33 a un 66,66%. Esto nos da una mayor ventaja de ganar el coch

4.1.ANÁLISIS MATEMÁTICO COMPLEJO

Los sucesos que necesitamos para resolver el problema son:

A: El concursante elija la puerta donde está el coche”

B: “El concursante elija la puerta donde hay una cabra”

Y por último el suceso que estamos buscando que es:

G: “Que el jugador gane el coche”

La probabilidad de elegir la puerta con el coche como véis es 1 entre 3, y la de elegir la puerta con una cabra es 2/3 , pero, cual es la probabilidad de ganar?

P(A)=1/3

P(B)=2/3

P(G)=?

Para ganar podemos hacerlo de cualquiera de las dos maneras. Elegir el coche y ganar o elegir una cabra y ganar, por tanto

P(G)= P((A y G) ó (B y G))

Lo que traducido al lenguaje matemático sería:

P(G)=P((A∩G) (B∩G))      (Simplemente tenéis que cambiar los símbolos de y por intesección y la o por unión)

Pues bien la probabilidad de una unión es la suma de probabilidades por lo que podemos separar la probabilidad en 2 mas sencillas

P(G)=P(A∩G) + P(B∩G)

Si utilizamos la fórmula de la probabilidad condicionada obtendremos que:

P(G)=P(G|A)*P(A) + P(G|B)*P(B)

Ahora solo tenemos que calcular la probabilidad de ganar para cada estrategia:

SIN CAMBIAR DE PUERTA

Si hemos decidido quedarnos con la puerta que teníamos

En el caso de tener un coche, habremos ganado seguro, ya que no lo vamos a cambiar, por lo que la probabilidad condicionada a ese suceso A, será del 100% o 1

P(G|A)=1

Pero esto solo sucederá cuando tengamos un coche y tenemos 1/3 de probabilidades de elegirlo, por lo que la probabilidad de elegir el coche y ganar es de 1*1/3 que es 1/3

P(A∩G)=1/3

En el caso de tener una cabra, si nos quedamos la puerta nunca vamos a ganar por lo que la probabilidad condicionada al suceso será 0 y al multiplicarlo por las probabilidades de tener una cabra, sigue siendo 0, lo cual es lógico si ya vemos que es imposible elegir la cabra y ganar el coche desde el principio.

P(G|B)=0

P(B∩G)=0

Si sumamos ambas cantidades tenemos que la probabilidad de ganar si nos quedamos la puerta es de 1/3.

P(G)=1/3

Esto podemos resumirlo como (Coche,Cabra,Cabra)

CAMBIANDO DE PUERTA

Vamos ahora a elegir cambiar de puerta siempre

En el caso de tener un coche, habremos perdido seguro, ya que lo vamos a cambiar por una cabra, por lo que la probabilidad condicionada a ese suceso A, será 0

P(G|A)=0

Y la probabilidad de coger el coche y ganar será 0.

P(A∩G)=0

Si en cambio elegimos una cabra, fijaros que el presentador siempre nos elimina la otra cabra, por lo que solo quedará el coche cuando cambiemos de puerta, por lo que ganaremos siempre el coche.

P(G|A)=1

Esto sucederá solamente cuando tengamos una cabra, pero hay que tener en cuenta que la probabilidad de elegir una cabra es 2/3, por lo que la probabilidad de tener una cabra y ganar es de 1*2/3 que es 2/3

P(B∩G)=0

Si sumamos ambas cantidades tenemos que la probabilidad de ganar si cambiamos de puerta es de 2/3

P(G)=2/3

Esto podemos resumirlo como (Cabra,Coche,Coche) (dibujo coche cabra y cabra)

5.SOLUCIÓN INTUITIVA

Hemos visto que cuando cambiamos de puerta

Si elegimos el coche siempre perdemos

Y si elegimos una cabra siempre ganamos

Pero como hay 1 coche y dos cabras, ganaremos en 2 ocasiones de 3.

Me imagino que os estáis preguntado a que se debe? Así que vamos a analizarlo un poco más.

6.EXPLICACIÓN

(Para esto vamos a imaginar de nuevo todos los posibles casos que pueden darse para las 3 puertas. (Fijaros que no diferenciamos el orden de las cabras, ya que eso duplica el numero de casos, pero no cambia la probabilidad))

Cuando elegimos nuestra puerta, tenemos 1/3 de probabilidades de tener el coche. Aunque el presentador abra una puerta, está condicionado por la que nosotros hemos elegido, ya que solo puede abrir una puerta que no sea la nuestra. Eso implica que siempre elimina una cabra de las otras dos puertas, pero nunca de la nuestra. Fijaros además que en esas 2 puertas siempre hay una cabra para poder eliminar, por lo que el presentador solo descarta una cabra que era segura y nos enseña donde está, pero eso no aumenta las probabilidades de nuestra puerta, ya que nosotros podemos seguir teniendo la otra cabra las mismas veces veces. Esto implica que la puerta que elegimos al principio seguirá teniendo el coche 1 de cada 3 veces y no aumentará sus probabilidades, por mucho que quitemos una puerta.

Sorprendente, que no cambie, pero entonces que pasa con la otra puerta?

Si nuestra puerta tiene el coche 1 de cada 3 veces, las otras 2 veces estará en las otras dos puertas, por lo que ese grupo de 2 tiene lógicamente mas probabilidades de tener el coche que nuestra puerta. Simplemente tenemos que sumar la probabilidad de cada una.

Cuando el presentador abre una puerta, sabe lo que hay detrás de cada una, por lo que siempre salva el coche en caso de tenerlo. Si las dos puertas tienen el coche 2 de cada 3 veces y siempre descarta una cabra, la puerta que se salve seguirá teniendo el coche 2 de cada 3 veces, por lo que su probabilidad será la misma que tenían ambas puertas pero repartida en una. Por eso debéis cambiarla por esta. Fijaros también que esta puerta no siempre será la misma y por eso tiene más probabilidad.

Y dicho esto…, estás seguro que no quieres cambiar de puerta?

AMPLIACIÓN DE LA IDEA

Imaginaros ahora el mismo juego pero con 20 puertas en lugar de 3. Seguimos eligiendo 1 puerta, y el presentador elimina de la misma manera las puertas que son cabra hasta quedarse con una.

 

Si olvidamos por un momento nuestra puerta, y pensamos solamente en las 19 que puede eliminar el presentador. Veremos muy claro  que 19 puertas tienen mucha más probabilidad que una, por lo que el coche estará la mayoría de veces en una de las puertas que tiene el presentador y solamente una en nuestra puerta. Y si este elimina todas las puertas que son cabra de ese grupo, la puerta que le quede tendrá el coche la mayoría de veces, de la misma manera.

7.CONCLUSIONES

En conclusión el presentador solo elimina cabras de sus puertas, y eso solo puede darle ventaja a alguna sus puertas, pero nunca a la nuestra.

Como hemos visto al final tampoco era tan complicado, pero, porque no hemos sido capaces de verlo antes?

Al principio el coche puede estar por igual en cualquiera de las puertas, por eso dividimos 1 premio entre 3 puertas, y así calculamos la probabilidad para nuestra puerta. Hasta aquí es correcto.

 

El problema viene cuando nos abren una puerta.

Cuando el presentador nos da la opción de quedarnos con nuestra puerta o cambiarla, debemos calcular de nuevo la probabilidad de cada puerta para saber cual nos conviene más. Para esto dividimos de la misma manera que antes 1 premio entre 2 puertas, como si el premio pudiera estar por igual en cada una de ellas, pero esto no es así, ya que el descarte que hace el presentador, aumenta solo la probabilidad de una de las puertas y no de las dos por igual. Por eso el cálculo es incorrecto. (66%>33%)

 

Fijaros que la única manera de tener un 50% de probabilidades de ganar, es elegir cambiar de puerta o no al azar, ya que en este caso aunque una puerta sea mas probable, tenemos las mismas opciones de elegirla que la otra, por lo que las veces que cambiemos de puerta, compensará las veces que no lo hagamos. De todas maneras esto sigue siendo menos que cambiar siempre de puerta, aunque más que quedarnos siempre la puerta. (66%>50%>33%)

Curioso verdad?

Ahora sabemos que Monty Hall era un tipo muy astuto, al utilizar la psicología y las matemáticas. Si el concursante no cambiaba de puerta, tenía las de perder. Y para tener ventaja tenía que arriesgarse a aceptar cambiar la puerta.  La realidad es que la mayoría perdía el coche, porque muy poca gente se arriesgaba. Quien cambiaría una puerta cuando pueden engañarte con la pregunta?. Tan solo un loco, o un matemático, y es que el engaño es precisamente eso.

Quien dice que las matemáticas no sirven para nada?

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